Compito di Fisica Matematica, 16 luglio 2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
π, t ∈ [0, 1[;
−2π, t ∈ [3, 4[;
0, altrove.
(2) Ottenere le singolarit`a della funzione fn(z) = 1+zzn2n per n ≥ 2, determinarne la natura e calcolare i residui corrispondenti.
(3) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (x) = e−(x+π)2.
(4) Verificare che la funzione f (x) = e−x(1 + x2+ x4) appartiene ad L2(R+) ma non ad L2(R).
Dimostrare poi che se h(x) ∈ L2(R) allora h(x) ∈ L2(D), per ogni sottoinsieme D di R.
(5) Calcolare le trasformate di Fourier delle funzioni f1(t) = (3−2it)1 2 ed f2(t) = (3+2it)1 2.
(6) Verificare se, date le funzioni f1(t) = (3−2it)1 2 ed f2(t) =(3+2it)1 2, risulta (f1? f2)(t) = 0. Si suggerisce di sfruttare le propriet`a della convoluzione e della trasformata di Fourier, ed adoperare il risultato del precedente esercizio.
(TdP1) Considerare un gruppo di 85 studenti, di cui 15 sono maschi di 20 anni o meno e 30 hanno pi`u di 20 anni, 20 sono ragazze di 20 anni o meno e le restanti 20 hanno pi`u di 20 anni.
Ottenere la probabilit`a che, preso uno studente a caso, esso sia (a) un maschio di 20 anni o meno;
(b) un maschio; (c) abbia pi`u di 20 anni; (d) sia un maschio o una ragazza.
(TdP2) Il PIN di un bancomat `e composto da 5 numeri. Nell’ipotesi che ogni combinazione sia ugualmente probabile determinare la probabilit`a che le cifre di un PIN siano (a) tutte differenti ovvero (b) che almeno due di queste coincidano.
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