limiti

(1)

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 1/39

(2)

Limiti di funzioni reali Introduzione Esempio 1 Esempio 2 Limite

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Introduzione

Sia a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad a

n

, quando n

(3)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 2/39

Introduzione

Sia a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad a

n

, quando n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

(4)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Introduzione

Sia a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad a

n

, quando n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

■

cresceranno?

(5)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 2/39

Introduzione

Sia a

n

una successione di numeri reali

Problema:

cosa succede ad a

n

, quando n

diventa arbitrariamente grande?

I valori

■

cresceranno?

■

decresceranno?

■

approssimeranno sempre meglio un qualche

(6)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1

(7)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

(8)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

(9)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

(10)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

(11)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

(12)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

(13)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

(14)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

7 7/8

(15)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

7 7/8

8 8/9

(16)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

7 7/8

8 8/9

9 9/10

(17)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 3/39

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

7 7/8

8 8/9

9 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere ed

(18)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 1

Disegniamo nel piano cartesiano i primi

termini della successione b

n

=

_n

₊₁

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

b

n

1 n

b

n

0

1 1/2

2 2/3

3 3/4

4 4/5

5 5/6

6 6/7

7 7/8

8 8/9

9 9/10

Si osserva che i valori tendono a crescere ed

(19)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

(20)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

(21)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

(22)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

(23)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

(24)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

(25)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

(26)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

(27)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

7 49/8

(28)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

7 49/8

8 64/9

(29)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

7 49/8

8 64/9

9 81/10

(30)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

7 49/8

8 64/9

9 81/10

Si osserva che, al crescere di n, i valori c

n

(31)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 4/39

Esempio 2

Facciamo la stessa cosa con la successione

c

n

=

n

2 n+1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

6

9 n

c

n

c

_n

0

1 1/2

2 4/3

3 9/4

4 16/5

5 25/6

6 36/7

7 49/8

8 64/9

9 81/10

Si osserva che, al crescere di n, i valori c

n

crescono, ma non esiste un maggiorante

Il concetto di

limite

(infinito) formalizzerà

(32)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Limite +

_{∞ per x → +∞}

Sia A un sottoinsieme di R non limitato

superiormente ed f : A → R

Diremo che

_{f ha limite +∞ per x tendente a}

+∞

e si scrive

lim

x

_→+∞

f (x) = +∞

se per ogni M ∈ R esiste x

M

∈ R tale che

(33)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 6/39

Limite

_{−∞ per x → +∞}

Sia A un sottoinsieme di R non limitato

superiormente ed f : A → R

Diremo che

_{f ha limite −∞ per x tendente a}

+∞

e si scrive

lim

x

_→+∞

f (x) = −∞

se per ogni M ∈ R esiste x

M

∈ R tale che

(34)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Limite finito per

_{x → +∞}

Sia A un sottoinsieme di R non limitato

superiormente ed f : A → R

Diremo che

_{f ha limite ℓ ∈ R per x tendente}

a +∞

e si scrive

lim

x

_→+∞

f (x) = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste x

ε

∈ R tale che

ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ogni x ∈ A tale

(35)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustrazione della definizione 2 Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

(36)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Dato un valore

M

(37)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

M

(38)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

(39)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) > M

M

(40)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) > M

M

x

M

x

(41)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Cambiando

M

(42)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

(43)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(44)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(45)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(46)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(47)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(48)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(49)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

(50)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

(51)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(52)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(53)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(54)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(55)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 8/39

Illustrazione della definizione 1

Illustriamo la prima definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

√

x = +∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(56)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 3 Limiti di successioni

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2

(57)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Dato un valore

M

(58)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

M

(59)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

(60)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) < M

M

(61)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Dato un valore

M

esiste

x

M

nel dominio

tale che tutti gli

x > x

M

hanno valori

corrispon-denti

f (x) < M

M

x

M

x

(62)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Cambiando

M

(63)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

(64)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(65)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(66)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Cambiando

M

si trova un altro

corri-spondente

x

M

con analoghe proprietà

M

(67)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(68)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(69)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Questo dev’essere vero

per ogni M

!

M

(70)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

(71)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

(72)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(73)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(74)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(75)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 9/39

Illustrazione della definizione 2

Illustriamo la seconda definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

(−x

2 ) = −∞

Equivalentemente è

co-me richiedere che, dato

M

si riesce a trovare un

x

M

tale che il grafico della

funzione per

x > x

M

stia tutto nella regione

tratteggiata

M

(76)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 1 Illustrazione della definizione 2

Limiti di successioni Altri Limiti Verifiche di limite Operazioni con i limiti Limiti e continuità

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2 π/2

−π/2

(77)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 10/39

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2 Dato

ε > 0

π/2

−π/2

π/2 − ε

π/2 + ε

(78)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2 Dato

ε > 0

esiste

x

ε

nel dominio

π/2 − ε

π/2 + ε

(79)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Limiti

- p. 10/39

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2 Dato

ε > 0

esiste

x

ε

nel dominio

tale che a tutti gli

x > x

ε

π/2 − ε

π/2 + ε

(80)

+∞

per

x

→+∞

Limite

−∞

per

x

→+∞

Limite finito per

x

→+∞

Illustrazione della definizione 3

Illustriamo la terza definizione col seguente esempio

lim

x→+∞

arctg x =

π

2 Dato

ε > 0

esiste

x

ε

nel dominio

tale che a tutti gli

x > x

ε

corrispondono valori

π

2 − ε < f(x) <

π

2 + ε

π/2 − ε

π/2 + ε

x

ε

x