5 4 3 2 1 A ={ 1,2,4 } B ={ 3,5 }

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 15 novembre 2018

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Considerare gli insiemi:

A={1,2 ,4} B={3,5}

Rappresentare in forma estensiva gli insiemi

A× B

e

B× A

.

Rappresentarli anche in forma cartesiana e verificare che sono due insiemi diversi.

(In altre parole occorre commentare a parole la rappresentazione cartesiana per sottolineare il fatto che si tratta di due insiemi diversi)

2

In un istituto musicale, al quale sono iscritti 55 studenti, si tengono corsi di pianoforte, violino e violoncello. Gli studenti che studiano o pianoforte o violino, seguendo un solo corso, sono 40;

quelli che studiano soltanto il violoncello sono 8. Ci sono 3 studenti che studiano sia il violoncello che il pianoforte e 2 studenti che studiano sia il violoncello che il violino. Nessuno studente segue tutti e tre i corsi. Quanti sono gli studenti che studiano sia il violino che il pianoforte?

3

Consideriamo i seguenti enunciati:

a: 13 è un numero primo b: 13 < 14

c:13 è divisibile per 4

Determinare i valori di verità degli enunciati:

b∧a

;

a ⇒ c

;

b∨c

;

a ⇔(b∨c)

.

4

Costruire le tavole di verità dei seguenti enunciati:

[( p∨q)∨r ]⇔( p∧r )

( p∧q)⇒( p⇒ q)

5

Consideriamo i predicati:

p (x ): x

²

+2 x +1=0 q (x ): x

³

−1=0

x∈ℚ

Determinare il valore di verità degli enunciati:

p (1)∧q (1); p(−1)∧q(1); p (1)∨q (−1); p(−1)∨q (−1) Valutazione

Obiettivi: rafforzare l'uso del linguaggio formale, prendere confidenza con i ragionamenti deduttivi. Gli argomenti si trovano nel capitolo 3 “insiemi e logica” del libro di testo.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

(2)

1

Considerare gli insiemi:

A={1,2 ,4} B={3,5}

Rappresentare in forma estensiva gli insiemi

A× B

e

B× A

.

Rappresentarli anche in forma cartesiana e verificare che sono due insiemi diversi.

(In altre parole occorre commentare a parole la rappresentazione cartesiana per sottolineare il fatto che si tratta di due insiemi diversi)

A× B={(1 ;3);(1 ;5);(2 ; 3);(2 ;5);(4 ;3);(4 ;5);}

B× A={(3 ;1);(5 ;1);(3 ;2);(5 ;2);(3 ;4);(5 ;4);}

Si tratta evidentemente di due insieme diversi, si può notare dalla diversa posizione dei punti nel piano cartesiano, o anche semplicemente ricordando che gli elementi del prodotto cartesiano sono

“coppie orientate”, ovvero hanno un primo elemento e un secondo elemento e coppie con gli stessi

elementi ma con diverso ordine sono coppie orientate diverse.

(3)

2

In un istituto musicale, al quale sono iscritti 55 studenti, si tengono corsi di pianoforte, violino e violoncello.

Gli studenti che studiano o pianoforte o violino, seguendo un solo corso, sono 40; quelli che studiano soltanto il violoncello sono 8. Ci sono 3 studenti che studiano sia il violoncello che il pianoforte e 2 studenti che studiano sia il violoncello che il violino. Nessuno studente segue tutti e tre i corsi. Quanti sono gli studenti che studiano sia il violino che il pianoforte?

Indichiamo con

•

A l'insieme degli studenti di pianoforte,

•

B l'insieme degli studenti di violino,

•

C l'insieme degli studenti di violoncello.

Proviamo a riepilogare schematicamente i dati che ci sono stati forniti:

Insieme numero di elementi

A∪B∪C 55

( A−(B∪C ))∪(B−( A∪C )) 40

C−(A∪B) 8

A∩C 3

B∩C 2

A∩B ?

A∩B∩C 0

Dai 55 studenti togliamo quelli che studiano un solo strumento che sono 40 + 8 = 48 Rimangono 55 – 48 = 7 studenti di due strumenti, nessuno ne studia tre.

Da questi togliamo i 3 violoncello/pianoforte e i 2 violoncello/violino.

Dunque quelli che studiano violino e pianoforte sono 7- (2+3)= 2.

Se piace, si può anche esporre il nostro risultato in una

mappa che usa i diagrammi di Venn. Non ci è però

possibile determinare il numero degli elementi di A e di B.

(4)

3

Consideriamo i seguenti enunciati:

a: 13 è un numero primo b: 13 < 14

c:13 è divisibile per 4

Determinare i valori di verità degli enunciati:

b∧a

;

a ⇒ c

;

b∨c

;

a ⇔(b∨c)

.

Per cominciare osserviamo che gli enunciati a e b sono veri, mentre l'enunciato c è falso.

b∧a È vero, visto che sono veri entrambi gli enunciati elementari.

a ⇒ c È falso, perché ci troviamo nella situazione “vero implica falso”

b∨c è vero, perché uno dei due enunciati (b) è vero.

a ⇔(b∨c)

è vero perché gli enunciati a sinistra e a destra del “se e solo se” sono entrambi veri.

4

Costruire le tavole di verità dei seguenti enunciati:

[( p∨q)∨r ]⇔( p∧r )

( p∧q)⇒( p ⇒ q)

Per facilitare il nostro lavoro, inseriremo nelle nostre tavole di verità anche i passi intermedi.

p q r

p p∨q p∧r

( p∨q)∨r [( p∨q)∨r ]⇔( p∧r)

V V V F V F V F

V F V F V F V F

F V V V V V V V

F F V V F V V V

V V F F V F V F

V F F F V F V F

F V F V V F V F

F F F V F F F V

p q

p

p∧q p∧q p ⇒ q ( p∧q)⇒( p⇒ q)

V V F V F V V

V F F F V V V

F V V F V V V

F F V F V F F

(5)

5

Consideriamo i predicati:

p (x ): x

²

+2 x +1=0 q (x ): x

³

−1=0

x∈ℚ

Determinare il valore di verità degli enunciati:

p (1)∧q (1); p(−1)∧q(1); p (1)∨q (−1); p(−1)∨q (−1)

Per determinare il valore di verità dei predicati, occorre sostituire nell'equazione la variabile con il valore indicato e osservare se l'uguaglianza è vera o falsa.

p (1): (1)

²

+2(1)+1=0 L'uguaglianza è falsa.

q (1): (1)

³

−1=0 L'uguaglianza è vera.

p (−1): (−1)

²

+ 2(−1)+1=0 L'uguaglianza è vera.

q (−1): (−1)

³

−1=0 L'uguaglianza è falsa.

Adesso che abbiamo degli enunciati elementari col loro valore di verità possiamo attribuire il valore di verità per gli enunciati richiesti, utilizzando le definizioni dei connettivi logici.