3) Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione an:= 4 − n2 n diverge a

1) Verificare, attraverso la definizione, che la successione an:= 2n + 3

3n − 7 converge a ²₃.

2) Verificare, attraverso la definizione, che la successione

an:= n⁴+ 3 3n⁵+ 7 cos²n + 2 converge a 0.

3) Dimostrare, attraverso la definizione, che la successione

an:= 4 − n² n diverge a −∞ per n → +∞.

4) Stabilire se le seguenti successioni sono limitate:

(a)2n²− 1 n (b)p

n²− 2 − n

(c)2n − 1 n + 5

(d)cos 2n n (e)(−1)ⁿ 3

π

n

.

5) Per ciascune delle seguenti successioni

a) (−1)ⁿcos(πn) ; b)n − 23

5n ; c) cosπ 2n stabilire quali delle seguenti propriet`a sono verificate definitivamente:

(1) i termini sono positivi;

(2) i termini sono minori di un certo M > 0;

(3) i termini sono maggiori di un certo m > 0.

6) Stabilire quali fra le seguenti successioni sono monotone a) n²sinπ

2n

; b)nⁿ n! .

7) Calcolare i limiti delle seguenti successioni:

(a)2n³− 1 n + 5 (b)p

n²− 2 − n

(c)10¹⁰¹⁰n⁷+ n⁶+ 13n⁵− 59n³+ n²+ 122 19n⁷+ n⁵− 135n⁴+ 12

(d)cos 2n n (e)(−1)ⁿ 3

π

ⁿ

(f )(−1)ⁿπ 3

ⁿ

(g) (1 + (−1)ⁿ) · n^(−1)n+1 (h) n^[n1]−1

(i) (2n²− π) ·

 n 2



 n 4



(l) (1 + (−1)ⁿ) · n⁽⁻¹⁾ⁿ

(m) M (√ n²− 1)

√n + 5

8) Calcolare il limite delle seguenti successioni:

a_n =

√n²+ 1 +√ n

√4

n³+ n −√

n, b_n= 1 n³

 2n − 1 3



, c_n= 2 − n³ n²+ 3,

xn=

 1 + 3

n + 1

n−1

, yn= n²+ 10 n²− 5n

³ⁿ²⁺²

, zn= cos



(−1)ⁿn − 1 n + 1π

 .

Esercizi svolti

1) Osserviamo innanzitutto che la successione {a_n} `e definita per ogni n ∈N. Occorre ora dimostrare che per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero naturale n_εtale che

n > nε⇒    

an−2 3    

=    

2n + 3 3n − 7 −2

3    

< ε . Svolgendo i calcoli, si ottiene

2n + 3 3n − 7 −2

3 = 23

3(3n − 7). Allora la condizione

an−2 3    

< ε equivale a

23

3 |3n − 7| < ε , cio`e ancora

|3n − 7| > 23

3ε. (0.0)

Non `e restrittivo supporre n ≥ 3, cos`ı che (0.0) may be written as n > 23

9ε +7 3. A questo punto, scegliamo nε=₂₃

9ε+⁷₃ + 1, dove [·] denota la parte intera. Osserviamo che n > n_ε⇒ n >23

9ε+7 3. Vale infatti per ogni x ∈ R

x − 1 < [x] ≤ x , da cui

n ≥ [x] + 1 ⇒ n > x , e ci`o conclude la dimostrazione.

2) Osserviamo che bn`e definita per ogni n ∈N. Dobbiamo provare che per ogni numero reale ε > 0 esiste un numero intero n_ε tale che

n > nε⇒ |bn− 0| = |bn| < ε .

In questo caso, conviene semplificare il problema attraverso delle stime. Osserviamo che 

n⁴+ 3 3n⁵+ 7 cos²n + 2

= n⁴+ 3

3n⁵+ 7 cos²n + 2 ≤n⁴+ 3 3n⁵ . cos`ı che

n⁴+ 3 3n⁵ < ε ⇒

n⁴+ 3 3n⁵+ 7 cos²n + 2

< ε . Ci siamo quindi ricondotti a determinare un numero intero nε tale che

n > nε⇒ n⁴+ 3 3n⁵ < ε .

Osserviamo ora che

n⁴+ 3 3n⁵ = 1

3n+ 1 n⁵ ≤ 2

3n, perch`e per n ≥ 2 si ha _3n¹ > _n¹₅.

A questo punto, il problema `e stato ulteriormente semplificato, ed `e sufficiente determinare un numero intero n_ε tale che

n > nε⇒ 2 3n < ε . Scegliendo n_ε=2

3ε + 1, dove [·] denota la parte intera, e ricordando che x − 1 < [x] ≤ x

per ogni x ∈ R, si ottiene infine che

n > nε⇒ n > 2 3ε, da cui segue la tesi.

3) Occorre dimostrare che per ogni A > 0 esiste un numero naturale nAtale che n > nAimplichi an< −A.

Sia A > 0. La condizione an< −A equivale a 4 − n²

n < A , cio`e

n²+ An − 4 > 0 . Questa disequazione `e soddisfatta per n < ^−A−

√A²+16

2 (ma questo caso non va considerato, perch`e non esiste nessun numero naturale siffatto) oppure per n > ^−A+

√ A²+16

2 . Scegliendo nA:=

"

−A −√

A²+ 16 2

# + 1 ,

si verifica allora che n > nA⇒ an< −A.

4) Ricordiamo che una successione {an} si dice limitata se esiste un numero M ≥ 0 tale che |an| ≤ M per ogni n ∈ dom({an}).

(a) Dimostriamo che la successione {²ⁿ²_n⁻¹} non `e limitata. `E sufficiente mostrare che per ogni M > 0 esiste un indice nM ∈N^{tale che an}M > M .

La condizione an > M equivale a ²ⁿ²_n⁻¹ > M , cio`e

2n²− M n − 1 > 0 . E allora sufficiente scegliere un numero naturale n` M > ^{M +}

√M²+8

4 , per avere an_M > M . (b) Osserviamo innanzitutto che la successione `e definita per n ≥ 2 e che per n ≥ 2 vale √

n²− 2 ≥

√

2 > 1. Posto poi an:=√

n²− 2 − n, razionalizzando si ottiene

an= −2

√n²− 2 + n.

Poich`e

|a_n| ≤ 2 1 + n≤ 2

3 per ogni n ≥ 2, la successione `e limitata.

(c) La successione `e limitata perch`e per ogni n ∈N^vale

2n − 1 n + 5

≤    

2n n

= 2 .

(d) La successione `e limitata perch`e per ogni n ≥ 1 vale 

cos 2n n

≤ 1 n ≤ 1 . (e) La successione `e limitata perch`e per ogni n ≥ 0 vale

(−1)ⁿ 3 π

ⁿ   

≤ 3 π

ⁿ

≤ 1 .

5) (a) Osserviamo che la successione

a_n := (−1)ⁿcos(πn)

`

e data, per n = 2k , k ∈N^{, da}

a2k:= (−1)^2kcos(2kπ) = 1 · 1 , mentre per n = 2k + 1, k ∈N^{, si ha}

a2k+1:= (−1)^2k+1cos((2k + 1)π) = −1 · (−1) = 1 .

Allora an = 1 per ogni n ∈ N e la successione `e sempre positiva e b) e c) sono banalmente soddisfatte.

(b) Posto b_n:= ⁿ⁻²³_5n , osserviamo che ⁿ⁻²³_5n ≥ 0 per n ≥ 23.

Inoltre si ha

n − 23

5n ≤ n + 23 5n ≤ 1

5+ 23 5n ≤ 1

5 +23 5 ≤ 24

5

per ogni n ≥ 1, cos`ı che {b<sub>n</sub>} soddisfa 2) con M > <sup>24</sup><sub>5</sub>. Infine, per n ≥ 24 {b<sub>n</sub>} `e a termini strettamente positivi e

bn =1 5 −23

5n ≥ 1 5− 23

5 · 24 = 1

5 · 24 =: m.

Quindi 3) `e soddisfatta per n ≥ 24.

(c) Osserviamo che la successione

cn:= cosπ 2n

`

e data, per n = 2k + 1 , k ∈Z^{, da}

c_2k+1= 0 ,

mentre per n = 4k, k ∈Z^{, si ha}

c4k = cos(2kπ) = 1 e per n = 4k + 2, k ∈Z^{, si ha}

c_4k+2= cos(2kπ + π) = −1 .

Allora 1) non `e soddisfatta definitivamente, perch`e c4k+2 = cos(2kπ + π) = −1 per ogni k ∈Z^;

2) `e soddisfatta per M > 1, mentre 3) non `e soddisfatta perch`e c4k+2= −1.

6) a) La successione {n²sin ^π₂n
} non `e monotona, perch`e, posto an:= n²sin ^π₂n
, per n ∈N^pari

si ha an= 0, per n dispari an vale alternativamente n² o −n².

b) Sia ora b_n:= ⁿ_n!ⁿ. Verifichiamo che la successione `e crescente, cio`e che per ogni n ≥ 1 vale bn≤ bn+1.

Questa condizione `e equivalente a

nⁿ

n! ≤(n + 1)ⁿ⁺¹ (n + 1)! , che si pu`o scrivere come

(n + 1)!

n! ≤ (n + 1)ⁿ⁺¹ nⁿ , cio`e ancora semplificando

(n + 1) ≤ (n + 1)ⁿ⁺¹ nⁿ . Si ottiene infine

1 ≤ (n + 1)ⁿ

nⁿ = n + 1 n

ⁿ , ovviamente verificata per ogni n ≥ 1.

7) (a) Raccogliendo la potenza di grado pi`u elevato al numeratore e al denominatore si ottiene 2n³− 1

n + 5 =n³· (2 −_n¹₃)

n(1 +_n⁵) = n²·2 − _n¹₃

1 +_n⁵ ⇒ +∞ , dal momento che n²→ +∞ e la frazione tende a 2 per n → +∞.

(b) Razionalizzando, si ottiene pn²− 2 − n =p

n²− 2 − n

·

√n²− 2 + n

√n²− 2 + n = n²− 2 − n²

√n²− 2 + n

= −2

√n²− 2 + n= −2 n ·q

1 − _n²2 + 1. Poich`e l’espressioneq

1 −_n²₂ + 1 tende a 2 per n → +∞, la successione data converge a zero.

(c) La successione data converge a ¹⁰₁₉¹⁰¹⁰ per n → +∞ (si ragiona come in a)).

(d) La successione {^{cos 2n}_n } tende a zero, perch`e    

cos 2n n

≤ 1 n

per ogni n ≥ 1.

e) La successione {(−1)ⁿ 3 π

ⁿ

} converge a zero, perch`e 

(−1)ⁿ 3 π

ⁿ   

≤    

 3 π

ⁿ   

=     3 π    

n

. Si ricorda che la successione

{αⁿ}

converge a zero se |α| < 1, diverge a +∞ se α > 1, converge a 1 se α = 1 ed `e indeterminata se α ≤ −1. In questo caso, α = _π³ < 1, da cui la tesi.

(f) La successione {(−1)ⁿπ 3

n

} `e indeterminata, perch`e per n pari il termine ennesimo `e uguale a ^π₃
n

, per n dispari a {− ^π₃
n

}.

(g) Poniamo

an := (1 + (−1)ⁿ) · n^(−1)n+1. Per n = 2k , k ∈N^{, si ha}

a_2k:= 2 · (2k)⁻¹ = 1 k. Per n = 2k + 1 si ha invece

a2k+1= 0 · (2k + 1) = 0 per ogni k ∈N^{. Poich`e}

a_2k→ 0 , la successione converge a zero per n → +∞.

(h) Osserviamo che per n > 1 si ha _n¹ ∈ (0, 1), da cui [1

n] = 0 . Allora per n > 1 si ha

n^[n1]−1= n⁻¹, quindi la successione data converge a zero.

(i) Ricordiamo che dati n e k inNil coefficiente binomiale n k

`e definito da

 n k



= n!

k!(n − k)!. Allora

 n 2



 n 4



= n!

2! · (n − 2)!·4! · (n − 4)!

n! = 4 · 3 · 2! · (n − 4)!

2! · (n − 2)(n − 3)(n − 4)! = 4 · 3 (n − 2)(n − 3),

cos`ı che

(2n²− π) ·

 n 2



 n 4

 = (2n

2− π) · 4 · 3

(n − 2)(n − 3)→ 24 .

(l) Poniamo

b_n:= (1 + (−1)ⁿ) · n⁽⁻¹⁾ⁿ. In questo caso, per n = 2k , k ∈N^{, si ha}

a2k := 2 · 2k = 4k . Per n = 2k + 1 si ha invece

a2k+1= 0 · (2k + 1)⁻¹= 0 per ogni k ∈N. La successione `e quindi indeterminata.

(m) Ricordiamo che per ogni x ∈ R vale

0 ≤ M (x) < 1 . Allora

0 ≤ M (p

n²− 1) < 1 per ogni n ∈N^{, da cui}

0 ≤ M (√ n²− 1)

√n + 5 ≤ 1

√n + 5. La successione converge quindi a zero.

8) an → +∞, bn→ ⁴₃, cn→ −∞, xn→ e³, yn→ +∞, zn→ −1.