MATEMATICA PER LA FINANZA ESERCITAZIONE 21/12/2021 (TESTI E SOLUZIONI ESERCIZI) Esercizio 1
Stabilire, in base al criterio del TIC, quale tra i seguenti progetti è più conveniente
𝑃1 = {600, −280, −380; 0, 1, 2}
𝑃2 = {600, −320, −326; 0, 1, 2}
Soluzione
Il TIC del progetto 𝑃1 è: +600 − 280
1+𝑖1− 380
(1+𝑖1)2 = 0 → 𝑦 = (1 + 𝑖1)−1→ 60 − 28𝑦 − 38𝑦2 = 0 → 𝑦 =−14 + √196 + 2476
38 ≈ 0,9410 → 𝑖1 = 1
0,9410− 1
= 0,0627 → 𝑖1 = 6,27%
Il TIC del progetto 𝑃2 è: : +600 − 320
1+𝑖2− 362
(1+𝑖2)2 = 0 → 𝑦 = (1 + 𝑖2)−1 → 600 − 320𝑦 − 362𝑦2 = 0 → 𝑦 =−160 + √25600 + 242800
362 ≈ 0,9192 → 𝑖2
= 1
0,9192− 1 = 0,0879 → 𝑖2 = 8,79%
Secondo il criterio del TIR, essendo un finanziamento, è preferibile il progetto 𝑃1 perché ha un tasso di costo minore.
Esercizio 2
Calcolare il valore attuale e la duration, al tasso 𝑖 = 1%, di un coupon bond con scadenza 4 anni, di valore nominale uguale a 100 €, che paga cedole annue del 4%.
Utilizzando la duration, determinare la variazione percentuale approssimata del prezzo del bond dovuta ad un ribasso dei tassi dello 0,2%.
Soluzione
𝑉(𝐶𝐵, 1%) = 4
1 + 0,01+ 4
(1 + 0,01)2+ 4
(1 + 0,01)3+ 4
(1 + 0,01)4+ 100 (1 + 0,01)4
= 4 ∙ 𝑎4¬0,01+ 100
(1 + 0,01)4 ≈ 111,71 € Il valore attuale serve per calcolare la duration
𝐷(𝐶𝐵, 1%) =1∙4∙(1+0,01)−1+2∙4∙(1+0,01)−2+3∙4∙(1+0,01)−3+4∙104∙(1+0,01)−4
111,71 = 3,7887 cioè 3
anni, 9 mesi e 14 giorni.
Esercizio 3
Utilizzando un tasso di valutazione annuo 𝑖 = 4%, calcolare il valore attuale, la duration e la convessità di una obbligazione triennale di valore nominale 100 € che paga cedole annue del 8%.
Soluzione
𝑉(𝐵) = 8
1 + 0,04+ 8
(1 + 0,04)2+ 108
(1 + 0,04)3 ≈ 111,10 € La duration si calcola applicando la definizione
𝐷(𝐵, 𝑖) =1∙8∙(1+0,04)−1+2∙8∙(1+0,04)−2+3∙108∙(1+0,04)−3
111,10 ≈ 2,7950, ovvero 2 anni, mesi e 16
giorni.
𝐶(𝐵, 𝑖) =1∙(1+1)∙8∙(1+0,04)−1+2∙(2+1)∙8∙(1+0,04)−2+3∙(3+1)108∙(1+0,04)−3
111,10 ≈ 10,91 anni al
quadrato.
Esercizio 4
Utilizzando un tasso di valutazione annuo 𝑖 = 2%, calcolare il valore attuale e la duration di un bond triennale di valore nominale pari a 100 che paga cedole annue del 4%.
Soluzione
Separiamo il flusso delle cedole dal valore nominale, il flusso delle cedole (che sono costanti)
𝑉(𝐵, 𝑖) = ∑ 𝐶
(1 + 𝑖)𝑘+ 𝑁 (1 + 𝑖)𝑛 =
3
𝑘=1
4 ∙1 − (1 + 0,02)−3
0,02 + 100
(1 + 𝑖)3 → 𝑉(𝐵, 0.02) = ∑ 4
(1+0,02)𝑘+ 100
(1+0,02)3 =
3𝑘=1 4 ∙1−(1+0,02)−3
0,02 + 100
(1+0,02)3= 105,768 € 𝐷(𝐵, 0.02) =1∙4∙(1+0,02)−1+2∙4∙(1+0,02)−2+3∙4∙(1+0,02)−3+3∙100∙(1+0,02)−3
105,768 = 305,615
105,768= 2,89 2 anni, 0,89 × 12 = 10,67 10 mesi e 0,67 × 30 = 20,1 20 giorni.
Esercizio 5
Utilizzando un tasso di valutazione annuo 𝑖 = 1%, calcolare il valore attuale e la duration di un Bond decennale di valore nominale pari a 100 che paga cedole semestrali del 3%.
Soluzione
Possiamo considerare il flusso delle cedole come una rendita posticipata, troviamo prima il tasso semestrale equivalente 𝑖2 = √1 + 0,01 − 1 = 0,5%. Il valore attuale del Bond è quindi
𝑉(𝐵, 0,5%) = ∑ 3
(1 + 0,005)𝑘+ 100 (1 + 0,005)20
20
𝑘=1
= 3 ∙1 − (1 + 0,005)−20
0,005 + 100
(1 + 0,005)20= 56,96 + 90,51 = 147,47 € Per calcolare la duration, consideriamo il bond come un portafoglio costituito da una rendita (flusso generato dalle cedole) e da un singolo importo (valore nominale).
Il peso del flusso generato dalle cedole 𝑤𝐶 è uguale al rapporto fra il valore attuale del flusso di cedole e il valore attuale del bond e così anche il peso del valore nominale 𝑤𝑁 è dato dal rapporto fra il valore attuale del valore nominale e il valore attuale del bond. Il tempo è espresso in semestri, il tasso è semestrale e anche la duration è espressa in semestri.
𝐷(𝐵, 0,5%) = 𝑤𝐶∙ 𝐷(𝐶, 0,5%) + 𝑤𝑁∙ 𝐷(𝑁, 0,5%)
= 1
147,47∙ {56,96 ∙ (1 + 0,005
0,005 − 20
(1 + 0,005)20− 1) + 100 (1 + 0,005)20}
= 3,99 + 12,28 ≈ 16,27 → 16 semestri circa → 8 anni.
Esercizio 6
Determinare il valore attuale e la duration, al tasso 𝑖 = 3%, di un portafoglio P composto da 3 CB con scadenza 3 anni e tasso cedolare del 5%, 1 ZCB con scadenza 1 anno e 2 ZCB con scadenza 5 anni.
Soluzione
Il valore attuale del portafoglio P al tasso 𝑖 è dato dalla somma dei valori attuali dei singoli titoli
𝑉(𝑃, 3%) = 3 ∙ 𝑉(𝐶𝐵, 3%) + 𝑉(𝑍𝐶𝐵1, 3%) + 2𝑉(𝑍𝐶𝐵2, 3%) Calcoliamo i valori attuali separatamente
𝑉(𝐶𝐵, 3%) = 5 ∙ (1 + 0,03)−1+ 5 ∙ (1 + 0,03)−2+ 105 ∙ (1 + 0,03)−3= 105,66 € 𝑉(𝑍𝐶𝐵1, 3%) = 100 ∙ (1 + 0,03)−1 = 97,09 €
𝑉(𝑍𝐶𝐵2, 3%) = 100 ∙ (1 + 0,03)−5= 86,26 €
𝑉(𝑃, 3%) = 3 ∙ 105,66 + 97,09 + 2 ∙ 86,26 ≈ 586,59 €
La duration del portafoglio è data dalla media ponderata della duration dei singoli titoli con i pesi uguali al rapporto tra i valori attuali dei singoli titoli e il valore attuale del portafoglio
𝐷(𝑃, 3%) = 3 ∙𝑉(𝐶𝐵, 3%)
𝑉(𝑃, 3%) ∙ 𝐷(𝐶𝐵, 3%) + 1 ∙𝑉(𝑍𝐶𝐵1, 3%)
𝑉(𝑃, 3%) ∙ 𝐷(𝑍𝐶𝐵1, 3%) + 2
∙𝑉(𝑍𝐶𝐵5, 3%)
𝑉(𝑃, 3%) ∙ 𝐷(𝑍𝐶𝐵5, 3%)
𝐷(𝐶𝐵, 3%) =1 ∙ 5 ∙ 1,03−1+ 2 ∙ 5 ∙ 1,03−2+ 3 ∙ 105 ∙ 1,03−3
105,66 = 2,8635
𝐷(𝑍𝐶𝐵1, 3%) =1∙100∙1,03−1
100∙1,03−1 = 1 (la duration degli ZCB è sempre uguale alla scadenza del titolo.
𝐷(𝑍𝐶𝐵1, 3%) = 1, 𝐷(𝑍𝐶𝐵5, 3%) = 5 → 𝐷(𝑃, 3%) = 3 ∙105,66
586,59∙ 2,8635 + 1 ∙ 97,09
586,59∙ 1 + 2 ∙ 86,26
586,59∙ 5 ≈ 3,1834 → 3 anni e 2 mesi.
Esercizio 7
Calcolare la duration e la convessità di un portafoglio composto per il 20%
da uno ZCB con scadenza tra un anno e per l’80% da uno ZCB con scadenza tra 5 anni.
Calcolare di quanto diminuisce in percentuale il valore del portafoglio per un aumento dei tassi di interesse ∆𝑖 = 0.1%.
Soluzione
La duration del portafoglio è:
𝐷(𝑃) = 20% ∙ 1 + 80% ∙ 5 = 0,2 ∙ 1 + 0,8 ∙ 5 = 4,2
La convessità del portafoglio è la media ponderata delle convessità dei singoli titoli. I pesi sono dati e i titoli sono ZCB, quindi
𝐶(𝑃) = 0,2 ∙ 1 ∙ (1 + 1) + 0,8 ∙ 5 ∙ (5 + 1) = 24,4 anni2
La variazione percentuale (approssimata) del valore del portafoglio in seguito all’aumento dei prezzi dello 0,1% è data da
∆𝑉(𝑃)
𝑉(𝑃) ≈ −∆𝑖 ∙ 𝐷(𝑃) = −0,1% ∙ 4,2 = − 0,42%
Quindi un aumento dell0 0,1% dei tassi comporta una diminuzione dello 0,42% del portafoglio.
Esercizio 8
Utilizzando un tasso di valutazione annuo 𝑖 = 5%, calcolare il valore attuale e la duration dei seguenti flussi finanziari:
a) un’obbligazione di valore nominale 100 con scadenza decennale, cedole annue del 2%;
b) una rendita perpetua immediata posticipata che paga cedole annue pari a 5;
c) un portafoglio costituito dalla obbligazione di cui al punto a) e dalla rendita di cui
al punto b).
Soluzione
Il valore attuale dell’obbligazione 𝑉(𝐵, 5%) = 2 ∙1 − (1 + 0,05)−10
0,05 + 100 ∙ (1 + 0,05)−10 = 15,44 + 61,39 = 76,83 Il valore attuale della rendita perpetua è
𝑉(𝑅, 5%) = 5
0,05= 100 Allora il valore attuale di tutto il portafoglio è
𝑉(𝑃, 5%) = 76,83 + 100 = 176,83 €
La duration dell’obbligazione è 𝐷(𝐵, 5%) = 𝑤𝐶∙ 𝐷(𝐶, 5%) + 𝑤𝑁∙ 𝐷(𝑁, 5%) 𝐷(𝐵, 5%) = 1
𝑉(𝐵,5%)∙ 2 ∙1−(1+0,05)−10
0,05 (1+0,05
0,05 − 10
(1+0,05)10−1) +100∙(1+0,05)−10
𝑉(𝐵,5%) = 15,44
76,83∙ (1+0,05
0,05 − 10
(1+0,05)10−1) +61,39
76,83∙ 10 = 9,02 anni, circa.
La duration della rendita perpetua è 𝐷(𝑅, 5%) = lim
𝑛→+∞(1,05
0,05− 𝑛
(1 + 0,05)𝑛 − 1) =1,05 0,05= 21 Quindi la duration del portafoglio
𝐷(𝑃, 5%) =𝑉(𝐵,5%)
𝑉(𝑃,5%)∙ 𝐷(𝐵, 5%) +𝑉(𝑅,5%)
𝑉(𝑃,5%)∙ 𝐷(𝑅, 5%) = 76,83
176,83∙ 9,02 + 100
176,83∙ 21 = 15,79 anni, circa.
Esercizio 9
Utilizzando un tasso di valutazione annuo 𝑖 = 5%, calcolare la duration di un portafoglio composto per il 50% da una rendita di 10 rate annue costanti immediate posticipate e per il 50% da uno ZCB con scadenza 5 anni.
Soluzione
La duration del portafoglio è la media ponderata delle duration dei singoli flussi, quindi
𝐷(𝑃, 5%) = 0,5 ∙ 𝐷(𝑅, 5%) + 0,5 ∙ 𝐷(𝑍𝐶𝐵, 5%) = 0,5 ∙ (1+0,05
0,05 − 10
(1+0,05)10−1) + 0,5 ∙ 5 = 5,0495 , 5 anni circa
Esercizio 10
Consideriamo un portafoglio composto da uno ZCB con scadenza un anno e un CB con scadenza 3 anni e cedola annuale pari a 10. Si calcoli valore attuale, duration e convessità del portafoglio al tasso 𝑖 = 2%.
Soluzione
Calcoliamo i valori attuali dei due titoli 𝑉(𝑍𝐶𝐵, 2%) = 100
1+0,02= 98,04 € circa.
𝑉(𝐶𝐵, 2%) = 10
1+0,02+ 10
(1+0,02)2+ 110
(1+0,02)3 = 123,07 € circa, allora il valore attuale del portafoglio
𝑉(𝑃, 2%) = 𝑉(𝑍𝐶𝐵, 2%) + 𝑉(𝐶𝐵, 2%) = 98,04 + 123,07 = 221,11 € circa.
Calcoliamo la duration dei due titoli 𝐷(𝑍𝐶𝐵, 2%) = 1
𝐷(𝐶𝐵, 2%) = 1
123,07[1 ∙ 10 ∙ (1 + 0,02)−1+ 2 ∙ 10 ∙ (1 + 0,02)−2+ 3 ∙ 110 ∙ (1 + 0,02)−3] = 2,7626 anni, circa.
Allora la duration del portafoglio è
𝐷(𝑃, 2%) =𝑉(𝑍𝐶𝐵,2%)
𝑉(𝑃,2%) 𝐷(𝑍𝐶𝐵, 2%) +𝑉(𝐶𝐵,2%)
𝑉(𝑃,2%) 𝐷(𝐶𝐵, 2%) = 98,04
221,11∙ 1 +123,07
221,11∙ 2,7626 = 1,9811 anni, circa.
Calcoliamo la convessità dei due titoli
𝐶(𝑍𝐶𝐵, 2%) = 𝑇(𝑇 + 1) = 1 ∙ 2 = 2 anni al quadrato.
𝐶(𝐶𝐵, 2%) = 1
𝑉(𝐶𝐵,2%)[1 ∙ (1 + 1) ∙ 10
(1+0,02)+ 2 ∙ (2 + 1) ∙ 10
(1+0,02)2+ 3 ∙ (3 + 1) ∙
110
(1+0,02)3] = 10,7348 anni al quadrato, circa.
Allora la convessità del portafoglio è 𝐶(𝑃, 2%) =𝑉(𝑍𝐶𝐵,2%)
𝑉(𝑃,2%) 𝐶(𝑍𝐶𝐵, 2%) +𝑉(𝐶𝐵,2%)
𝑉(𝑃,2%) 𝐶(𝐶𝐵, 2%) = 98,04
221,11∙ 1 ∙ (1 + 1) +123,07
221,11∙ 10,7348 = 6,8618 anni al quadrato, circa.
Introduzione ai derivati
I derivati sono strumenti finanziari il cui valore dipende dal valore di un altro
strumento finanziario, detto sottostante. I sottostanti possono essere, ad esempio, azioni, obbligazioni, indici azionari/obbligazionari, tassi di cambio o commodities (petrolio, oro, elettricità, cacao).
Il payoff di un derivato è il suo valore a scadenza, in funzione del prezzo del sottostante. I derivati più comuni sono i contratti forward, i contratti futures e le opzioni.
Con il contratto forward una parte (detta lunga) si impegna ad acquistare il sottostante a una data futura T (detta maturity) ad un prezzo prefissato F (detto prezzo forward) da una parte che si impegna a venderlo (detta corta) a queste condizioni. Attraverso il forward le parti eliminano il rischio legato all’incertezza del prezzo del sottostante al tempo T.
Esercizio 11
Determinare il prezzo di un contratto forward con scadenza T = 2 su un
sottostante che non paga dividendi, di valore odierno 𝑆 = 30, sapendo che il tasso privo di rischio è r = 0.5% (composto continuamente). Quali sarebbero i payoff per la posizione lunga e corta se alla scadenza il sottostante avesse un valore 𝑆2 = 32?
Determinare il prezzo di un contratto forward con scadenza T = 3 su un
sottostante che paga dividendi a un tasso continuo q = 1%, di valore odierno S = 80, sapendo che il tasso privo di rischio è r = 2.5%. Quali sarebbero i payoff per la posizione lunga e corta se alla scadenza il sottostante avesse un valore S3 = 78?
Soluzione
Il prezzo forward è quello che pagheremo alla scadenza per ricevere il sottostante e normalmente viene calcolato come 𝐹 = 𝑆 ∙ 𝑒𝑟∙𝑇 = 30 ∙ 𝑒0,005∙2= 30,30 € circa
Se alla scadenza il sottostante avesse un valore 𝑆2 = 32, il payoff per la posizione lunga sarebbe 𝑓2 = 𝑆2− 𝐹 = 32 − 30,30 = 1,70, mentre il payoff per la posizione corta sarebbe −𝑓2 = 𝐹 − 𝑆2 = 30,30 − 32 = −1,70.
Esercizio 12
Determinare il prezzo di un contratto forward con scadenza T=3 su un sottostante che paga dividendi a un tasso continuo 𝑞 = 1%, di un valore odierno 𝑆 = 80, sapendo che il tasso privo di rischio è 𝑟 = 2,5%. Quali sarebbero i payoff per la posizione lunga e corta se alla scadenza il sottostante avesse un valore 𝑆3 = 78?
Soluzione
Il prezzo forward è il prezzo che pagheremo alla scadenza per ricevere il sottostante, quando è presente un dividend yield viene normalmente calcolato come
𝐹 = 𝑆 ∙ 𝑒(𝑟−𝑞)∙𝑇 = 80 ∙ 𝑒(0,025−0,01)∙3 = 83,68 € circa.
Se alla scadenza il sottostante avesse valore 𝑆3 = 78, il payoff per la posizione lunga sarebbe 𝑓3 = 𝑆3− 𝐹 = 78 − 83,68 = −5,68, mentre il payoff per la posizione corta −𝑓3 = 𝐹 − 𝑆3 = 83,68 − 78 = 5,68.
Esercizio 13
Determinare il costo al tempo t = 1 di un contratto forward con scadenza
T = 2 su un sottostante che non paga dividendi, di valore odierno S = 100, sapendo che il tasso privo di rischio è r = 1% e ipotizzando un valore futuro del sottostante S1 = 102.
Soluzione
Determiniamo il prezzo forward 𝐹 = 𝑆 ∙ 𝑒𝑟∙𝑇 = 100 ∙ 𝑒0,01∙2 = 102,02 € da cui ricaviamo il costo del contratto al tempo 𝑡 = 1:
𝑓1 = 𝑆1− 𝐹 ∙ 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)= 102 − 102,02 ∙ 𝑒−0,01(2−1) = 1 circa
