Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Tema d’Esame dell’8 febbraio 2018
Esercizio 2
𝑚 = 0,1 𝑘𝑔; 𝑣0 = 5 𝑚/𝑠; 𝑅 = 0,15 𝑚; 𝑀 = 1 𝑘𝑔;
i. 𝑣𝐶𝑀 = ?;
Il caso fisico in esame riguarda l’urto tra un punto materiale e un corpo rigido non vincolato, dunque è lecito avvalersi del principio di conservazione della quantità di moto. Infatti, nell’ipotesi in cui le forze di tipo impulsivo rendano trascurabili le forze esterne, si ha che
∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗ =𝑒 𝑑𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡𝑜𝑡 𝑑𝑡 = 0
da cui la conservazione della quantità di moto del sistema. Considerando il fatto che l’urto è elastico, mettiamo a sistema la conservazione della quantità di moto con quella dell’energia cinetica e risolviamolo.
{ 1
2𝑚𝑣02 = 1
2𝑚𝑣𝑓2+1 2𝐼𝑃𝜔2 𝑚𝑣0 = 𝑚𝑣𝑓 + 𝑀𝑣𝐶𝑀
Siccome si tratta di un moto di puro rotolamento, si ha 𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑅.
Nel sistema sovrastante il termine 𝐼𝑃 indica il momento d’inerzia della sfera rispetto al punto 𝑃 di istantanea rotazione che, per il teorema di Huygens-Steiner, sarà dato da
𝐼𝑃 = 2
5𝑀𝑅2+ 𝑀𝑅2 =7 5𝑀𝑅2
A partire da queste considerazioni, è possibile riscrivere il sistema nel seguente modo:
{𝑚(𝑣02− 𝑣𝑓2) =7
5𝑀𝑣𝐶𝑀2 𝑚(𝑣0 − 𝑣𝑓) = 𝑀𝑣𝐶𝑀
Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Non ci resta che svolgere i calcoli per determinare la velocità del centro di massa.
{𝑣0 + 𝑣𝑓 =7
5𝑣𝐶𝑀
𝑚𝑣0 − 𝑚𝑣𝑓 = 𝑀𝑣𝐶𝑀 ⟹ {𝑣𝑓 =7
5𝑣𝐶𝑀 − 𝑣0 𝑚𝑣0 −7
5𝑚𝑣𝐶𝑀 + 𝑚𝑣0 = 𝑀𝑣𝐶𝑀 (𝑀 +7
5𝑚) 𝑣𝐶𝑀 = 2𝑚𝑣0 ⟹ 𝑣𝐶𝑀 = 10𝑚
5𝑀 + 7𝑚𝑣0 ≈ 0,88 𝑚/𝑠 ii. 𝑣𝑓 = ?;
Dal sistema precedente si ha che:
𝑣𝑓 = 7
5𝑣𝐶𝑀 − 𝑣0 ≈ −3,77 𝑚/𝑠
Sia da notare che il modulo della velocità 𝑣𝑓 < 0 non è un errore, bensì indica che il verso della velocità finale è opposto a quello di 𝑣0 e 𝑣𝐶𝑀 (entrambe positive in modulo).
iii. 𝐸𝑀𝑆𝑓𝑒𝑟𝑎 = ?;
L’energia meccanica della sfera sarà data dall’energia cinetica che essa possiede in seguito all’urto. Ricordiamo che la forza di attrito statico nel moto di puro rotolamento non contribuisce alla dissipazione di energia, o meglio, non compie lavoro, quindi l’unica energia che entra in gioco è proprio quella cinetica.
𝐸𝑀𝑆𝑓𝑒𝑟𝑎 = 1
2𝐼𝑃𝜔2 = 1 2
7
5𝑀𝑅2𝜔2 = 7
10𝑀𝑣𝐶𝑀2 ≈ 0,54 𝐽
