x0g e con le condizioni alcontorno u(x;y)= 8 &lt

p er il

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile

Appello del 31/7/2006

Nome:...

N. matr.:... Ancona, 31 luglio 2006

1. Determinare la soluzione dell'equazione di Laplace
u = 0, p er la fun-

zione incognita u(x;y),nel dominiocostituito dal semicerchio

=f(x;y):x 2

+y 2

1; x0g

e con le condizioni alcontorno

u(x;y)= 8

<

:

x; y=0

x+y; x 2

+y 2

=1

y; x=0

Ricordiamol'espressione del Laplacianoin coordinatepolaripiane (r;'):

u= 1

r

@

@r



r

@u

@r



+ 1

r 2

@ 2

u

@' 2

2. Si consideril'equazionedelcalore

@u

@t

=K

@ 2

u

@x 2

+Q(x)

con il termine di sorgente Q(x) = Ccos(x=L). Siano u(0;t) = 0,

u(L;t) = 0 ed u(x;0) = L=2 jx L=2j con le condizioni iniziali ed

alcontornop erlafunzioneincognitau(x;t). Vericare,primadirisolve-

re l'equazione, sevalela legge di conservazione della quantita di calore.

Determinarequindi la soluzione con le condizioni al contorno ed iniziali

eaasegnate.

3. Determinarele caratteristichedell'equazionedel prim'ordine

x

@u

@y y

@u

@x

=0

p er la funzione incognita u(x;y). Si consideri quindi il dato iniziale

u(x;y)=1 sulla curva data dall'equazione x 2

+y 2

=4. Determinare

se esiseomeno lasoluzione diquesto problemadiCauchy,giusticando