b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 11 gennaio 2020

(1) Delle radici terze di w = (2 + √ 12i) ² a nessuna appartiene al terzo quadrante c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a _n = e

− cosh _n ¹

√

1 + n ³ − n · n ² per n → +∞

a diverge per ogni α ∈ IR c converge per qualche α > 0

b converge solo per α = − ¹ ₂ d nessuna delle precedenti

(3) La funzione f (x) =

( _log(1+x

)−sin

(αx)

x

se x > 0

cos(βx ² ) − 1 se x ≤ 0 nel punto x ₀ = 0 a ` e continua solo per α = −1, β ∈ IR

c ` e derivabile per ogni α, β ∈ IR

b ` e derivabile solo per α = 1 e β = 0 d nessuna delle precedenti

(4) L’equazione log |e ^x − 2| = 3x + α ammette a una soluzione positiva per ogni α ∈ IR

c tre soluzioni di segno concorde per qualche α < 0

b nessuna soluzione negativa per ogni α > 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z 1

0

(1 − 2x) arctan ¹ _x dx vale

a log 2 + 1 c ¹ ₂ log 2 − 1 + ^π ₄

b ^π ₄

d nessuna delle precedenti

(6) La serie

+∞

X

n=1

n ^αn

(2n + 1)! converge a per ogni α ≤ 2

c per ogni α > 3

b per nessun α ∈ IR

d nessuna delle precedenti

Risposte corrette ^∗

(1) La risposta corretta ` e b , le radici sono infatti z 0 = √

16 cos ^2π ₉ + i sin ^2π ₉
, z 1 = √

16 cos ^8π ₉ + i sin ^8π ₉
, z 2 = √

16 cos ^14π ₉ + i sin ^14π ₉
(2) La risposta corretta ` e c , per n → +∞ si ha

a n ∼

( 3(α − ¹ ₂ )n ² se α 6= ¹ ₂

1

4 se α = ¹ ₂

(3) La risposta corretta ` e d , osservato che per x → 0 ⁺ risulta

log(1 + x ² ) − sin ² (αx) = (1 − α ² )x ² + ( ^α ₃

− ¹ ₂ )x ⁴ + o(x ⁴ )

si prova che la funzione ` e derivabile in x 0 = 0 se e solo se α = ±1, per ogni β ∈ IR.

(4) La risposta corretta ` e c , il grafico della funzione ` e rappresentato in figura

(5) La risposta corretta ` e c , risulta Z

(1 − 2x) arctan ¹ _x dx = (x − x ² ) arctan ¹ _x + ¹ ₂ log(1 + x ² ) − x + arctan x + c, c ∈ IR

(6) La risposta corretta ` e d , infatti posto a _n = _(2n+1)! ⁿ

, per n → +∞ si ha ^a

_a

n

∼ _4n ^e

e dunque dal criterio del rapporto la serie converge se α < 2 e diverge per α ≥ 2.

∗ Sono qui riportate solo le risposte corrette e un cenno alla risoluzione, per la prova d’esame sono ritenute

valide per la valutazione solo risposte di cui ` e presente lo svolgimento e la giustificazione completa.