b una appartiene al terzo quadrante d nessuna delle precedenti

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 2 febbraio 2019

(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z

+ (1 + i)z + 2i = 0 a nessuna appartiene al primo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al terzo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a

=

e

−

1−_n¹

sin

− sin

converge per n → +∞

a per ogni α ∈ R c solo per α = 1

b per nessun α ∈ R

d nessuna delle precedenti

(3) La funzione g(x) =

(

√

1+sin(αx)

x

se x > 0 tan(βx) + x se x ≤ 0

nel punto x

= 0

a non ` e continua per ogni α, β ∈ R c ` e derivabile per α = 1 e β = 0

b ` e continua ma non derivabile per α = 1 e ogni β ∈ R d nessuna delle precedenti

(4) La funzione f

(x) = xe

|x−1|

x

−α per ogni α > 0 a ammette due zeri

c non ammette asintoti verticali

b ammette massimo relativo d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z

0

x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx vale a 2 − log 2

c +∞

b log

− 2

d nessuna delle precedenti

(6) La serie

+∞

X

n=0

2

(n!)

n

a converge per ogni α ∈ R c converge solo per α = 3

b diverge se e solo se α > 3

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta ` e a . Infatti, le soluzioni dell’equazione sono date da z

= −b ± √

∆ 2a

Poich´ e ∆ = (1 + i)

− 4(2i) = −6i = 6(cos(−

) + i sin(−

)), le due radici quadrate di ∆ sono

± √

∆ = ± √

6 cos(−

) + sin(−

) i
= ± √ 6



2 2

−

√ 2 2

i



= ± √

3 − √ 3 i

 . Quindi le soluzioni complesse dell’equazione data sono

z

= −(1 + i) ± √ 3 − √

3 i
2

ovvero

z

=

√ 3 − 1

2 −

√ 3 + 1

2 i e z

= − 1 + √ 3

2 +

√ 3 − 1

2 i

Siccome √

3 > 1, abbiamo che z

appartiene al quarto quadrante mentre z

appartiene al secondo quadrante.

(2) La risposta esatta ` e b . Osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli per x → 0 abbiamo e

−

= 1 + αx +

+ o(x

) − (1 + x + x

+ o(x

))

= (α − 1)x + (

− 1)x

+ o(x

) ∼

( (α − 1)x se α 6= 1

−

se α = 1 Posto x =

otteniamo che n → +∞ si ha

e

− 1 1 +

∼

(

n

se α 6= 1

−

se α = 1 Per x → 0 abbiamo inoltre

sin(x

) − sin

x = x

+ o(x

) − (x −

+ o(x

))

= x

+ o(x

) − (x

−

+ o(x

)) =

+ o(x

) ∼

e quindi, posto x =

per n → +∞ otteniamo

sin

− sin

∼

Dunque

a

∼



 

 

α−1 n 1 3n4

= 3(α − 1)n

se α 6= 1

−

1 2n²

1 3n4

= −

n

se α = 1

e dunque che la successione diverge per ogni α ∈ R.

(3) La risposta esatta ` e d . Studiamo la continuit` a e la derivabilit` a della funzione

f (x) =

(

√

1+sin(αx)

x

se x > 0 tan(βx) + x se x ≤ 0 nel punto x

= 0. Abbiamo

lim

x→0⁻

f (x) = lim

x→0⁻

tan(βx) + x = 0 = f (0) per ogni β ∈ R. Mentre, dato che per x → 0

cosh √ x − p

1 + sin(αx) = 1 +

+

+ o(x

) − (1 +

sin(αx) −

sin

(αx) + o(sin

(αx)))

=

+

+ o(x

) −

(αx + o(x

)) +

(αx + o(x

))

+ o((αx + o(x

))

)

=

(1 − α)x + (

+

)x

+ o(x

) Quindi, se α 6= 1, allora cosh √

x − p1 + sin(αx) ∼

(1 − α)x mentre se α = 1 allora cosh √ x − p1 + sin(αx) ∼

x

. In ogni caso otteniamo

lim

x→0⁺

f (x) = lim

x→0⁺

cosh √

x − p1 + sin(αx)

x =

(1 − α) e dunque che f (x) risulta continua in 0 solo per α = 1, qualunque sia β ∈ R.

Riguardo alla derivabilit` a, per x < 0 la funzione ` e derivabile con f

(x) =

+1 e lim

x→0⁻

f

(x) = β+1.

Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x = 0 con f

(0) = β + 1. Osservato poi che la funzione risulta continua in x = 0 solo per α = 1, studiamo l’esistenza della derivata destra per tale valore. Dal precedente sviluppo abbiamo

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

cosh √ x − √

1 + sin x

x

= lim

x→0⁺ 1 6

x

x

=

e la funzione ammette derivata destra in x = 0 con f

(0) =

. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x = 0 solo per α = 1 e β = −

.

(4) La risposta esatta ` e d . Studiamo la funzione f

(x) = xe

− α con α > 0. Abbiamo che la funzione ` e definita e continua in D = R \ {0}, inoltre abbiamo lim

x→±∞

f

(x) = ±∞ e lim

x→0⁻

f

(x) = −α, mentre dalla gerarchia degli infiniti si ha

lim

x→0⁺

f

(x) = lim

x→0⁺

xe

− α = lim

x→0⁺

lim

x→0⁺ 1 e

e

1 x

− α = +∞

Ne segue che x = 0 ` e asintoto verticale destro e pertanto c ` e falsa. La funzione ` e derivabile in ogni x ∈ D \ {1} con

f

(x) =

( e

+ xe

= e

se x > 1

e

− xe

= e

se x < 1, x 6= 0

Abbiamo allora che f

(x) > 0 per ogni x < 0 e x > 1 e dunque che la funzione ` e strettamente

crescente in (−∞, 0) e in [1, +∞) mentre f

(x) < 0 per 0 < x < 1 e quindi f

(x) risulta strettamente

decrescente in (0, 1]. Ne segue che x = 1 ` e punto di minimo relativo per f

(x) e poich´ e la funzione non ammette punti stazionari in D \ {1}, possiamo affermare che non ammette punti di massimo relativo per ogni α > 0 e dunque che b ` e falsa.

Osservato infine che dal precedente studio, risulta f

(x) < 0 per ogni x < 0 e che per x > 0 si ha f

(x) ≥ f

(1) = 1 − α > 0 se 0 < α < 1, possiamo concludere che per tali valori di α la funzione non ammette zeri e dunque che anche a ` e falsa.

(5) La risposta esatta ` e a . Per calcolare R

0

x+3

(x+1)²(x+2)

dx osserviamo innanzitutto che dalla definizione di integrale improprio

Z

0

x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx = lim

b→+∞

Z

x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx Per determinare R

(x+1)²(x+2)

dx possiamo determinare la decomposizione in fratti semplici cercando A, B, C ∈ R tali che

(1) x + 3

(x + 1)

(x + 2) = A

x + 1 + B

(x + 1)

+ C x + 2

Tale identit` a risulta verificata per A = −1, B = 2 e C = 1, pertanto, considerato che nel dominio di integrazione

> 0 , otteniamo

Z x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx =

Z 2

(x + 1)

− 1

x + 1 + 1 x + 2 dx

= − 2

x + 1 − log(x + 1) + log(x + 2) + c = log x + 2

x + 1 − 2

x + 1 + c

e quindi

Z

0

x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx = lim

b→+∞

Z

x + 3

(x + 1)

(x + 2) dx

= lim

b→+∞

log

−



= lim

b→+∞

log

−

− log 2 + 2 = 2 − log 2 (6) La risposta esatta ` e b . Infatti, posto a

=

abbiamo

n→+∞

lim a

a

= lim

n→+∞

2

((n + 1)!)

(n + 1)

· n

2

(n!)

= lim

n→+∞

2(n + 1)

n

(n + 1)

=



 

 

+∞ se α > 3

2

e³

se α = 3

0 se α < 3

Poich´ e e

> 2, dal criterio del rapporto possiamo concludere che la serie converge se α ≤ 3 e diverge

se α > 3.