Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z
Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 11 gennaio 2020 – A
(1) Delle radici terze di w = (2 − √ 12i) 4 a nessuna appartiene al terzo quadrante c una appartiene all’asse immaginario
b una ha modulo minore di 4 d nessuna delle precedenti
(2) La successione a n = cosh α n − e
n21( √
42 + n 8 − n 2 ) tan n 1
4per n → +∞
a diverge per ogni α ∈ IR c converge per qualche α < 0
b converge solo per α = √ 2 d nessuna delle precedenti
(3) La funzione f (x) =
( log(1+αx
2)−sin
2x
x
3se x > 0
sinh(βx) se x ≤ 0 nel punto x 0 = 0 a ` e continua per α 6= 1 e ogni β ∈ IR
c non ` e derivabile per ogni α, β ∈ IR
b ` e derivabile solo per α = 1 e β = 0 d nessuna delle precedenti
(4) L’equazione log |e x − 3| = α + 2x ammette a una soluzione positiva per ogni α ∈ IR
c tre soluzioni di segno concorde per qualche α < 0
b nessuna soluzione negativa per ogni α > 0 d nessuna delle precedenti
(5) Detto I l’integrale improprio Z 2
0
(1 + x) arctan x 2 dx si ha
a I < 2
c I > 2 + log 2
b I = +∞
d nessuna delle precedenti
(6) La serie
+∞
X
n=1
3 n n αn
(2n − 1)! converge a per qualche α > 3
c per ogni α ∈ IR
b solo se α < 2
d nessuna delle precedenti
Risposte corrette ∗
(1) La risposta corretta ` e a , le radici sono infatti z 0 = 4 √
34 cos −4π 9 + i sin −4π 9 , z 1 = 4 √
34 cos 2π 9 + i sin 2π 9 , z 2 = 4 √
34 cos 8π 9 + i sin 8π 9 (2) La risposta corretta ` e a , per n → +∞ si ha
a n ∼
( (α 2 − 2)n 8 se α 2 6= 2
− 2 3 n 6 se α 2 = 2
(3) La risposta corretta ` e d , osservato che per x → 0 + risulta
log(1 + αx 2 ) − sin 2 x = (α − 1)x 2 + ( 1 3 − α 2
2)x 4 + o(x 4 )
si prova che la funzione in x 0 = 0 ` e continua se e solo se α = 1, per ogni β ∈ IR, ` e derivabile se e solo se α = 1 e β = − 1 6 .
(4) La risposta corretta ` e c , le soluzioni dell’equazione corrispondono alle soluzioni dell’equazione f (x) = log |e x − 3| − 2x = α e il grafico della funzione f (x) `e rappresentato in figura
(5) La risposta corretta ` e c , risulta Z
(1 + x) arctan 2 x dx = (x + x 2
2) arctan x 2 + log(4 + x 2 ) + x − 2 arctan x 2 + c, c ∈ IR
(6) La risposta corretta ` e b , infatti posto a n = (2n−1)! 3
nn
αn, per n → +∞ si ha a
n+1a
n
∼ 4n 3e
2−ααe dunque dal criterio del rapporto la serie converge per α < 2 e diverge per α ≥ 2.
∗ Qui sono riportate solo le risposte corrette e un cenno alla risoluzione, per la prova d’esame sono
ritenute valide per la valutazione solo risposte di cui ` e presente lo svolgimento e la giustificazione
completa.
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z
Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 11 gennaio 2020 – B
(1) Delle radici terze di w = ( √
12 − 2i) 5 a nessuna appartiene al quarto quadrante c una appartiene al terzo quadrante
b una ha modulo √
34 d nessuna delle precedenti
(2) La successione a n = ( √
36 + n 6 − n 2 ) sinh n 1
3e
n4α− cos n 1
2per n → +∞
a diverge per ogni α ∈ IR c converge per qualche α < 0
b converge solo per α = 1 2 d nessuna delle precedenti
(3) La funzione f (x) =
( sinh
2(αx)+log(1−x
2)
x
3se x > 0
sin(βx) se x ≤ 0 nel punto x 0 = 0 a non ` e derivabile per ogni α, β ∈ IR
c ` e derivabile solo per α = 1 e β = − 2 3
b ` e continua per α 6= ±1 e ogni β ∈ IR d nessuna delle precedenti
(4) L’equazione log |e x − 6| = α − 2x ammette a una soluzione negativa per ogni α ∈ IR
c tre soluzioni di segno concorde per qualche α < 0
b nessuna soluzione positiva per ogni α < 2 d nessuna delle precedenti
(5) Detto I l’integrale improprio Z 2
0
(1 − x) arctan 2 x dx si ha
a I < π 2 c I = +∞
b I > π − 1
d nessuna delle precedenti
(6) La serie
+∞
X
n=1
3 n (2n + 1)!
n αn diverge a solo se α < 2
c per ogni α ∈ IR
b per qualche α > 0
d nessuna delle precedenti
Risposte corrette ∗
(1) La risposta corretta ` e c , le radici sono infatti z 0 = 4 √
316 cos −5π 18 + i sin −5π 18 , z 1 = 4 √
316 cos 7π 18 + i sin 7π 18 , z 2 = 4 √
316 cos 19π 18 + i sin 19π 18 (2) La risposta corretta ` e c , per n → +∞ si ha
a n ∼ ( 2
α+
121
n
3se α 6= − 1 2 24n se α = − 1 2
(3) La risposta corretta ` e d , osservato che per x → 0 + risulta
sinh 2 (αx) + log(1 − x 2 ) = (α 2 − 1)x 2 + ( α 3
4− 1 2 )x 4 + o(x 4 )
si prova che la funzione in x 0 = 0 ` e continua se e solo se α = ±1 per ogni β ∈ IR, ` e derivabile se e solo se α = ±1 e β = − 1 6 .
(4) La risposta corretta ` e d , e soluzioni dell’equazione corrispondono alle soluzioni dell’equazione f (x) = log |e x − 6| + 2x = α e il grafico della funzione f (x) `e rappresentato in figura
(5) La risposta corretta ` e a , risulta Z
(1 − x) arctan 2 x dx = (x − x 2
2) arctan x 2 + log(4 + x 2 ) − x + 2 arctan x 2 + c, c ∈ IR
(6) La risposta corretta ` e b , infatti posto a n = 3
n(2n+1)! n
αn, per n → +∞ si ha a
n+1a
n
