Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 giugno 2019
(1) Delle soluzioni dell’equazione z
4+ 2i = 0 nel piano complesso a una cade sull’asse reale
c nessuna cade nel secondo quadrante
b la distanza reciproca massima ` e 2 √ 2 d nessuna delle precedenti
(2) La serie
+∞
X
n=0
(3n + 1)!
3
n(n!)
α` e convergente a per ogni α < 2
c se e solo se α > 3
b per nessun α ∈ R
d nessuna delle precedenti (3) La funzione f
α(x) = √
1 − sinh x − cos(x
α) per x → 0
+ha ordine di infinitesimo a minore di 1 per qualche α < 2
c 2 per qualche α > 2
b 1 per ogni α > 0
d nessuna delle precedenti (4) La funzione g(x) = 3x − 3
xa ammette un unico punto di flesso c non ammette asintoti
b ammette un unico zero in (1, +∞) d nessuna delle precedenti
(5) L’integrale
Z
π 0(x + 1)
2| cos x| dx a π
2+ 2π
c
12π
2+ 2π − 2
b 4π − 2
d nessuna delle precedenti (6) L’integrale improprio
Z
+∞0
cosh x − 1
x
α(e
x− 1) converge a per qualche α > 3
c per ogni α < 2
b per nessun α ∈ R
d nessuna delle precedenti
Soluzione
(1) La risposta corretta ` e d . Infatti, le soluzioni dell’equazione z
4+ 2i = 0 corrispondono alle radici quarte di w = −2i = 2(cos
−(π2) + i sin
−(π2)) e sono date da
z
k= √
42(cos
−π2+2kπ4+ i sin
−π2+2kπ4) = √
42(cos
−π+4kπ8+ i sin
−π+4kπ8), k = 0; 1; 2; 3.
Abbiamo pertanto
z
0= √
42(cos(−
π8) + i sin(−
π8)), z
1= √
42(cos
3π8+ i sin
3π8) z
2= √
42(cos
7π8+ i sin
7π8), z
3= √
42(cos
11π8+ i sin
11π8)
Poich´ e tali radici, nel piano complesso, si dispongono sui vertici di una quadrato inscritto nella cir- conferenza di centro l’origine e raggio √
42 (si ha infatti |z
k| = √
42 per ogni k), la distanza reciproca massima ` e pari alla lunghezza della diagonale del quadrato, ovvero del diametro della circonferenza, e dunque vale 2 √
42.
(2) La risposta corretta ` e c . Applichiamo il criterio del rapporto, quindi posto a
n=
(3n+1)!3n(n!)α, calcoliamo il limite di
an+1an
per n → +∞. Abbiamo a
n+1a
n= (3n + 4)!
3
n+1((n + 1)!)
α· 3
n(n!)
α(3n + 1)! = (3n + 4)(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)!
3 3
n(n + 1)
α(n!)
α· 3
n(n!)
α(3n + 1)!
= (3n + 4)(3n + 3)(3n + 2)
3(n + 1)
α∼ 9
n
α−3→
0 se α > 3 9 se α = 3 +∞ se α < 3
Dato che 9 > 1, dal criterio del rapporto possiamo conlcudere che la serie converge se e solo se α > 3.
(3) La risposta corretta ` e b . Dagli sviluppo notevoli per x → 0
+, per ogni α > 0 abbiamo g
α(x) = √
1 − sinh x − cos(x
α) = 1 −
12sinh x −
18sinh
2x + o(sinh
2x)) − (1 −
x2α2+
x4!4α+ o(x
4α))
= −
12(x + o(x
2)) −
18(x + o(x
2))
2+ o((x + o(x
2))
2) +
x2α2−
x244α+ o(x
4α)
= −
x2−
x82+ o(x
2) +
x2α2−
x244α+ o(x
4α) =
−
x2+ o(x) se 2α > 1
−
x62+ o(x
2) se 2α = 1
x2α
2
+ o(x
2α) se 2α < 1
Ne segue che per x → 0
+ord g
α(x) =
1 se α >
122 se α =
122α se α <
12in particolare, per ogni α <
12abbiamo che ord g
α(x) = 2α < 1, e quindi che l’ordine di infinitesimo ` e minore di 1 per qualche α < 2.
(4) La risposta corretta ` e d . La funzione f (x) = 3x − 3
x` e definita e continua in R. Abbiamo
x→−∞
lim f (x) = −∞, dato che lim
x→−∞
3
x= 0, e lim
x→+∞
f (x) = −∞, poich´ e dalla gerarchia degli infiniti risulta lim
x→+∞
3x
3x
= +∞. La funzione non ammette pertanto asintoti verticali e orizzontali, abbiamo per` o
x→−∞
lim
f (x)
x
= lim
x→−∞
3 −
3xx= 3 e lim
x→−∞
f (x) − 3x = lim
x→−∞
−3
x= 0
e dunque che y = 3x ` e asintoto obliquo per x → −∞. Osserviamo che la funzione non ammette invece asintoto obliquo per x → +∞.
La funzione ` e inoltre derivabile in R con f
0(x) = 3 − log 3 3
xper ogni x ∈ R e risulta f
0(x) > 0 se e solo se x < log
3(
log 33) = 1 − log
3(log 3) = x
0. Dal criterio di monotonia abbiamo allora che la funzione ` e strettamente crescente in (−∞, x
0], strettamente decrescente in [x
0, +∞) e che x
0` e punto di massimo assoluto
1. Osserviamo che x
0= 1 − log
3(log 3) < 1, in quanto log
3log 3 > 0. Infatti, essendo e < 3 si ha 1 < log 3 e dunque 0 < log
3(log 3).
Infine la funzione ` e derivabile due volte in R con f
00(x) = − log
23 3
x< 0 per ogni x ∈ R. Dal criterio di convessit` a abbiamo quindi che f (x) ` e concava in R.
Da quanto ottenuto possiamo concludere che
1
Anche se non richiesto, osserviamo che essendo che f (1) = 0, otteniamo f (x
0) > f (1) = 0. Dal teorema dei valori
intermedi e dalla monotonia stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, uno in (−∞, x
0)
e uno in (x
0, +∞).
a ` e falsa, la funzione ` e concava in tutto R dunque non ammette punti di flesso;
b ` e falsa, la funzione ` e mai nulla in (1, +∞) essendo f (x) ` e strettamente decrescente in (1, +∞) e dunque f (x) < f (1) = 0 per ogni x > 1;
c ` e falsa, la funzione ammette un asintoto obliquo per x → −∞.
(5) La risposta corretta ` e d . Per calcolare
Z
π 0(x + 1)
2| cos x| dx, osserviamo innanzitutto che dalla propriet` a di additivit` a dell’integrale si ha
Z
π 0(x + 1)
2| cos x| dx =
Z
π2
0
(x + 1)
2cos x dx −
Z
ππ 2
(x + 1)
2cos x dx
Per calcolare tali integrali, determiniamo una primitiva di (x + 1)
2cos x. Integrando per parti due volte otteniamo
Z
(x + 1)
2cos x dx = (x + 1)
2sin x −
Z
2(x + 1) sin x dx = (x + 1)
2sin x + 2(x + 1) cos x −
Z
2 cos x dx
= (x + 1)
2sin x + 2(x + 1) cos x − 2 sin x + c, c ∈ R quindi
Z
π0
(x + 1)
2| cos x| dx =
Z
π2
0
(x + 1)
2cos x dx −
Z
ππ 2
(x + 1)
2cos x dx
= î (x + 1)
2sin x + 2(x + 1) cos x − 2 sin x ó
π 2
0
+
− î (x + 1)
2sin x + 2(x + 1) cos x − 2 sin x óππ 2
=
12π
2+ 4π − 2
(6) La risposta corretta ` e d . Per stabilire per quali valori di α ∈ R l’integrale
Z
+∞0
cosh x − 1 x
α(e
x− 1) converge, osservato che la funzione integranda ` e continua in (0, +∞), dobbiamo stabilire per quali valori di α ∈ R risultano convergenti entrambi gli integrali
Z
1 0cosh x − 1 x
α(e
x− 1) dx e
Z
+∞1
cosh x − 1 x
α(e
x− 1) dx Riguardo al primo integrale, osserviamo che
cosh x − 1 x
α(e
x− 1) ∼
x2 2
x
αx = 1
2x
α−1, per x → 0
+,
e ricordando che R01x1pdx converge se e solo se p < 1, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che R01 xcosh x−1α(ex−1)dx converge se e solo se α − 1 < 1, ovvero α < 2.
dx converge se e solo se α − 1 < 1, ovvero α < 2.
Riguardo all’integrale R1+∞xcosh x−1α(ex−1)dx, osservato che cosh x =
ex+e2−x ∼
e2x per x → +∞, si ha cosh x − 1
x
α(e
x− 1) ∼
ex 2
