n! 2nn+2nnn+2! vale Risp.: A : 22 B : 2 C : e2 D : e12 3

Analisi Matematica 1 04 Settembre 2014 COMPITO 1

1. La radice terza del numero complesso

w = 2Re eⁱ(^π6+2π) 7³i

!

appartenente al secondo quadrante `e data da Risp.: A : ₇¹3



−¹₂ +

√3 2 i



B : ¹₇

−¹₂ +

√3 2 i



C : ¹₇

−

√2 2 +

√2 2 i



D : ¹₇

−

√3 2 +¹₂i



2. Il limite

n→+∞lim

 n! (sin n + 2n) (n + 1)! − n!

²ⁿⁿ⁺²ⁿ_nn+2!

vale

Risp.: A : 2² B : 2 C : e² D : e¹²

3. Sia β ≥ 0. Allora la serie

+∞

X

n=1

h log



n^β+ 2√ n



− log n^β + 1

i

Risp.: A : converge per β ≤ 3/2 B : converge per ogni β ≥ 0 C : converge per β > 3/2 D : diverge

4. Sia α > 0. Il limite

lim

x→0⁺

3x sin(3x) − 12 cosh(√

3x) + 12 + 9x² 3 log(1 + 2x^α)

vale

Risp.: A : −∞ se α < 4; −3 se α = 4; 0 se α > 4 B : 0 per α > 0 C : +∞ se α ≤ 4; non esiste se α > 4 D : 0 se α < 4; −3 se α = 4; −∞ se α > 4

5. L’area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione non negativa definita da f (x) = cos x log(1 + sin x), x ∈



0, arcsin1 2



e l’asse delle ascisse, vale

Risp.: A : ³₂log³₂ B : ³₂log³₂ −¹₂ C : ¹₃log³₂ −¹₂ D : log³₂ −¹₂

6. Sia β ∈ R. Allora l’integrale improrio

Z +∞

2

√

x⁴+ 1 − x²

 sin_x¹



e^x31 − 1β dx

Risp.: A : diverge B : converge per β < ²₃ C : converge per β ≥ ²₃ D : converge per ogni β

7. La soluzione y(x) del seguente problema

(y⁰⁰− 3y⁰+ 2y = 10 sin x

y(0) = 0, lim_x→+∞e^−2xy(x) = 4

` e

Risp.: A : y(x) = 4e^2x−7e^x+sin x+3 cos x B : y(x) = 4e^2x−7e^x−sin x+3 cos x C : y(x) = 4e^2x− 7e^x+ 3 cos x D : y(x) = 4e^2x+ 3

8. Sia data la funzione f definita da:

f (x) = 4

x − 2+ 4√

3 log |x − 2| + x.

Delle seguenti affermazioni

(a) dom f = R \ {2} (b) dom f = {x ≥ 1} (c) f ammette asintoto verticale x = 2 (d)f ammette asintoto obliquo per x → +∞ (e) f `e non negativa

le uniche corrette sono

Risp.: A : (b), (c), (e) B : (a), (d) C : (b), (d), (e) D : (a), (c)

9. Sia f la funzione dell’esercizio 8. Delle seguenti affermazioni (a) dom f⁰ 6= dom f (b)x = −2 − 2√

3 `e punto di massimo relativo, x = 6 − 2√

3 `e punto di minimo relativo (c) x = 6−2√

3 `e punto di minimo assoluto (d) f `e crescente in (−∞, −2−2√ 3) e in (6 − 2√

3, +∞) (e) f `e illimitata le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (b), (c) B : (b), (c), (d) C : (b), (d), (e) D : (a), (d), (e)

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.