FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 24 febbraio 2012
TEMA
1
Esercizio 1 Risolvere il seguente Problema di Cauchy
y0(x) = e2x
q1−y2(x) 1+e2x , y(0) = α
per i valori del parametro α ∈ [−1, 1]. (NB. Si ricorda che arcsin0(y) =√1
1−y2) Esercizio 2 Si consideri il sistema di equazioni
y Rx
1 log(1 + 2t2) e3t2dt + x2eyz = z x2+ 2 exy+ cosh(z − 1) − 2 = 2eyz
(a) Verificare che nell’ intorno di P0= (1, 0, 1) esso definisce una curva cartesiana regolare.
(b) Determinare l’equazione della retta tangente a tale curva in P0.
(c) (Fac.) Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui il piano di equazione (a2− 4)x − a(a + 1)y − 2z = a2− 6
risulta perpendicolare alla curva suddetta in P0. Esercizio 3 Calcolare
Z
Σ
|y − 6|
√
1 + 3z2dσ dove
Σ =(x, y, z) ∈ R3 : x2+ 4z2= 4, 0 ≤ y ≤ 4 + x .
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale
F (x, y, z) = (F1, F2, F3)(x, y, z) = − e−z3
(x − y2)2 + 3, 2y e−z3
(x − y2)2 − 2y, − e−z3 3(x − y2)
!
(a) determinare il dominio D di F e verificare che F `e irrotazionale in D;
(b) dire se F `e conservativo in D e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(c) CalcolareR
γF1(x, y, z) dx + F2(x, y, z) dy + F3(x, y, z) dz, dove γ `e la curva parametrizzata da
ϕ(t) = (cos(π t) − 2, sin2(π t), 2 − |t − 4|) t ∈ [1, 4].
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 24 febbraio 2012
TEMA
2
Esercizio 1 Risolvere il seguente Problema di Cauchy
y0(x) = e3x
qy2(x)−1 1+e3x , y(0) = α
per i valori del parametro α ∈ [1, +∞[. (NB. Si ricorda che settcosh0(y) = √1
y2−1) Esercizio 2 Si consideri il sistema di equazioni
x Rz
3 arctan(t2− 8) e−t2dt + z cosh(2xy) = 2y + 1 4 arctan(x + y) − xy2z − ez−3y = π − 1
(a) Verificare che nell’ intorno di P0= (0, 1, 3) esso definisce una curva cartesiana regolare.
(b) Determinare l’equazione della retta tangente a tale curva in P0.
(c) (Fac.) Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui il piano di equazione (a2− 4)x + a(a − 2)y − 2z = a2− 2a − 6
risulta perpendicolare alla curva suddetta in P0. Esercizio 3 Calcolare
Z
Σ
|y − 9|
√1 + 8x2 dσ dove
Σ =(x, y, z) ∈ R3 : 9x2+ z2 = 9, 0 ≤ y ≤ 6 − z .
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (F1, F2, F3)(x, y, z) =
e−2z
(ey− x)2 − 2, − ey−2z
(ey− x)2,−2e−2z ey− x + 3z2
(a) determinare il dominio D di F e verificare che F `e irrotazionale in D;
(b) dire se F `e conservativo in D e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(c) CalcolareR
γF1(x, y, z) dx + F2(x, y, z) dy + F3(x, y, z) dz, dove γ `e la curva parametrizzata da
ϕ(t) = (cos(π t) − 2, sin2(π t), |t − 2| − 5) t ∈ [2, 5].
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 24 febbraio 2012
TEMA
3
Esercizio 1 Risolvere il seguente Problema di Cauchy
y0(x) = sin x
q1−y2(x) 2+cos x, y(0) = α
per i valori del parametro α ∈ [−1, 1]. (NB. Si ricorda che arcsin0(y) =√1
1−y2) Esercizio 2 Si consideri il sistema di equazioni
y2exz+ z Ry
1 log(1 + 2t2) e3t2dt = x cosh(x − 1) + y2+ 2(eyz− exz) = 2
(a) Verificare che nell’ intorno di P0= (1, 1, 0) esso definisce una curva cartesiana regolare.
(b) Determinare l’equazione della retta tangente a tale curva in P0.
(c) (Fac.) Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui il piano di equazione 2x − (a2− 4)y + a(a + 1)z = 6 − a2
risulta perpendicolare alla curva suddetta in P0. Esercizio 3 Calcolare
Z
Σ
|x − 6|
√
1 + 3z2dσ dove
Σ =(x, y, z) ∈ R3 : y2+ 4z2 = 4, 0 ≤ x ≤ 4 − y .
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale
F (x, y, z) = (F1, F2, F3)(x, y, z) = − e−x3
3(z − y2), 2y e−x3
(z − y2)2 − 2y, − e−x3
(z − y2)2 + 3
!
(a) determinare il dominio D di F e verificare che F `e irrotazionale in D;
(b) dire se F `e conservativo in D e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(c) CalcolareR
γF1(x, y, z) dx + F2(x, y, z) dy + F3(x, y, z) dz, dove γ `e la curva parametrizzata da
ϕ(t) = (sin2(π t), 2 − |t − 3|, cos(π t) − 2) t ∈ [2, 3].
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 24 febbraio 2012
TEMA
4
Esercizio 1 Risolvere il seguente Problema di Cauchy
y0(x) = cos x
qy2(x)−1 2−sin x, y(0) = α
per i valori del parametro α ∈ [1, +∞[. (NB. Si ricorda che settcosh0(y) = √1
y2−1) Esercizio 2 Si consideri il sistema di equazioni
x cosh(2yz) + y Rx
3 arctan(t2− 8) e−t2dt − 1 = 2z 1 + 4 arctan(y + z) − xyz2 = π + ex−3z
(a) Verificare che nell’ intorno di P0= (3, 0, 1) esso definisce una curva cartesiana regolare.
(b) Determinare l’equazione della retta tangente a tale curva in P0.
(c) (Fac.) Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui il piano di equazione 2x − (a2− 4)y − a(a − 2)z = −a2+ 2a + 6
risulta perpendicolare alla curva suddetta in P0. Esercizio 3 Calcolare
Z
Σ
|x − 9|
p1 + 8y2 dσ dove
Σ =(x, y, z) ∈ R3 : 9y2+ z2 = 9, 0 ≤ x ≤ 6 + z .
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (F1, F2, F3)(x, y, z) =
e−2y
(ez− x)2 − 2,−2e−2y
ez− x + 3y2, − ez−2y (ez− x)2
(a) determinare il dominio D di F e verificare che F `e irrotazionale in D;
(b) dire se F `e conservativo in D e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(c) CalcolareR
γF1(x, y, z) dx + F2(x, y, z) dy + F3(x, y, z) dz, dove γ `e la curva parametrizzata da
ϕ(t) = (cos(π t) − 2, sin2(π t), 4 − |t − 3|) t ∈ [0, 3].
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
