L'intervallo ÒB ß BÐ"Ñ Ð8ÑÓ costituisce il campo di variazione delle osservazioni e la media è un valore interno al campo di variazione, ovvero BÐ"Ñ Ÿ B Ÿ B– Ð8Ñ

Alcune proprietà della media

Sia X una variabile quantitativa e siano B ß á ß B_{" 8} i valori osservati in corrispondenza di unità.8

"ÑSia B_Ð3Ñ l' -esima osservazione ordinata, in modo tale che risulti i B_Ð"Ñ Ÿ B_Ð#Ñ Ÿ á Ÿ B_Ð8Ñ. L'intervallo ÒB ß B_{Ð"Ñ Ð8Ñ}Ó costituisce il campo di variazione delle osservazioni e la media è un valore interno al campo di variazione, ovvero

B_Ð"Ñ Ÿ B Ÿ B– _Ð8Ñ. Infatti osservato che B Ÿ B_{3 Ð8Ñ}, per ogni 3 œ "ß á ß 8, risulta

B œ " B Ÿ " B œ B

8 8

– .

8 8

3œ" 3œ"

3 Ð8Ñ Ð8Ñ

In modo analogo osservato che B_Ð"Ñ Ÿ B3, per ogni 3 œ "ß á ß 8, si ha B œ " B   " B œ B

8 8

– .

8 8

3œ" 3œ"

3 Ð"Ñ Ð"Ñ

#) ⁸ (B B–) è minima nel senso che la somma dei quadrati degli scarti da un qualunque altro valore -

3œ" 3 #

risulta sempre più elevata. Infatti risulta

8 8

3œ" 3œ"

3 # 3 #

8 8

3œ" 3œ"

3 # # 3

( ) – –

– – – – .

B - œ ÒÐB BÑ ÐB -ÑÓ

œ ÐB BÑ 8ÐB -Ñ #ÐB -Ñ ÐB BÑ

Poiché ⁸ – e – 0 risulta ⁸ ( ) ⁸ – e vale l'eguaglianza per

3œ"ÐB3 BÑ œ ! 8ÐB -Ñ  # 3œ" B3 - #   3œ"ÐB3 BÑ#

- œ BÞ–

$) Si supponga una trasformazione lineare del tipo Yœ + ,X. In questo caso, la media delle osservazioni trasformate C œ +₃ ,B 3 œ "ß #ß á ß 8₃ ( ) risulta essere la trasformata lineare della media delle osservazioni originali. Infatti, si ottiene

C œ C œ + ,B œ + ,B

8 8 8

œ 8+ , B œ + ,B

8 8

– 1 1 1

( )

1 1

– .

 

8 8 8 8

3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

3 3 3

8

3œ"

3

Vale la pena osservare che la trasformazione lineare del tipo ] œ + ,\, con ∞ + ∞ , e 0, corrisponde al cambiamento della scala di misura. In particolare + rappresnta il cambiamento dell'origine mentre riguarda il cambiamento dell'unità di misura. Dal risultato precedente risulta quindi, che, se si cambia scala di misura, per calcolare la media delle osservazioni espresse nella nuova scala

non è necessario trasformare tutte le osservazioni e poi considerarne la media, ma si può trasformare direttamente la media delle osservazioni espresse nella scala originale.

%) Si supponga infine che le osservazioni siano divise in gruppi, rispettivamente di numerosità8 P 8 ß 8 ß á ß 8_{" # P}, e si indichi con B₃₄ la -esima osservazione del -esimo gruppo e con3 4

B œ B 4 œ "ß #ß á ß P 8

– 1

,

4 34

4 8

3œ"

4

la media del -esimo gruppo. La media generale delle osservazioni risulta allora4 8

B œ B œ 8 B œ 0 B

8 8

– 1 ^P 1 ^P – ^P –

4œ" 3œ" 4œ" 4œ"

8

34 4 4 4 4

4

Per conoscere la media generale non occorre conoscere tutte le osservazioni ma solo le medie e le numerosità dei singoli gruppi. Questo risultato implica allora che, nel caso di una distribuzione di frequenza per classi, la media risulterebbe nota in modo esatto qualora fossero note le medie di ogni singola classe.

Osservazione

Nel libro di riferimento Borra S., Di Ciaccio A. "Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali", la trasformazione lineare è espressa nella forma Yœ" α+ X e la media del -esimo gruppo è4 indicata con –B_+Ð4ÑÞ