Caduta di un grave e forza di Coriolis

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Caduta di un grave e forza di Coriolis

Figure 1:

Determinare il punto di caduta di un oggetto di massa m lasciato cadere da una torre di altezza h ad una latitudine λ, corrispondente ad una co- latitudine (=angolo polare) θ = π/2 − λ, assumendo la terra perfettamente sferica di raggio R = 6.3 · 10⁶m.

Si considerino gli effetti dovuti alla forza centrifuga ed alla forza di Cori- olis nel sistema non inerziale solidale alla torre.

Si dia un valore numerico dello scostamento del punto di caduta dalla

“verticale” individuata dal filo a piombo per h = 100m (altezza della Torre degli Asinelli a Bologna) e λ = 45^o (latitudine approssimata di Bologna).

N.B: la prima misura di questo effetto fu fatta nel 1790 dal fisico bolog- nese Giovan Battista Guglielmini lanciando sfere di piombo del diametro di ' 2cm proprio dalla Torre degli Asinelli. La sua misura fu di uno spostamento dalla verticale definita dal filo a piombo di ∆x = 12mm in direzione Est.

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Soluzione

Consideriamo un sistema di riferimento non inerziale locale con asse z radiale, quindi localmente verso l’alto, asse y parallelo al meridiano e diretto da Sud a Nord, asse x lungo il parallelo in direzione Ovest–Est.

La terna inerziale sia (X, Y, Z), con Z diretto lungo l’asse terrestre verso Nord e X, Y sul piano equatoriale.

Un corpo viene lanciato localmente da una altezza h ad una latitudine λ. Nel sistema (x, y, z) il corpo risente della forza gravitazionale m~g e delle forze apparenti dovute al moto non inerziale (=non a velocit`a costante) del sistema di riferimento.

Essendo ~ω costante, le forze apparenti da considerare sono quelle dovute alla accelerazione di trascinamento (l’origine del sistema non inerziale si muove di moto accelerato rispetto al S.I.), alla accelerazione centrifuga (il sistema ruota) e quella di Coriolis. Si noti che i primi due termini hanno la stessa espressione (~ω × (~ω × ~R) il primo e ~ω × (~ω × ~z) il secondo) per cui spesso la somma dei due viene chiamata semplicemente forza centrifuga, come se l’origine del sistema non inerziale fosse al centro della Terra invece che sulla superficie.

F~app= −m~ω × (~ω × ~r) − 2m~ω × ~v

Scriviamo i vettori nel sistema non-inerziale (= il nostro!):

~

ω = ωêZ= ω cos λêy+ ω sin λêz

~r = (R + z)ˆe_z ' Rˆe_z

~v = ˙xê_x+ ˙yê_y+ ˙zê_z

e calcoliamo i prodotti vettoriali (nel seguito usiamo c = cos λ e s = sin λ).

L’accelerazione centrifuga vale:

~

ω × ~r = ωRcˆe_x

~

ω × (~ω × ~r) = ω²Rc²eˆy × êx+ ω²Rcsêz× êx= −ω²Rc²eˆz+ ω²Rcsêy

mentre l’accelerazione di Coriolis:

~ ω × ~v =

ˆ

e_x eˆ_y eˆ_z 0 ωc ωs

˙

x y˙ z˙

= (ωc ˙z − ωs ˙y)êx+ ωs ˙xêy− ωc ˙xêz

Possiamo adesso scrivere la seconda legge di Newton. Eliminando la massa, otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali:







¨

x = −2ωc ˙z + 2ωs ˙y

¨

y = −ω²Rcs − 2ωs ˙x

¨

z = −g + ω²Rc²+ 2ωc ˙x

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Per risolvere il sistema, facciamo alcune approssimazioni. Scriviamo, per stimare l’ordine di grandezza, le componenti della velocita’ come:

˙ x = ∆x

∆t

essendo ∆t il tempo di caduta (dell’ordine di pochi secondi) e ∆x lo spostamento lungo la direzione x. Analogamente per le altre due componenti.

Chiaramente risulta

∆y << ∆z

cio`e ci aspettiamo uno spostamento minimo dalla verticale.

Nella prima equazione del sistema (1) si pu`o allora trascurare il termine

˙

y rispetto al termine ˙z. Si noti che ˙y è moltiplicato per sin λ, mentre ˙z per cos λ. Si potrebbe allora obiettare che vicino ai poli (λ ' π/2) questa ap- prossimazione non è corretta. Tuttavia confrontando le prime due equazioni nel caso c = 0 e s = 1, cioè al polo, si verifica che se le velocità iniziali lungo x e y sono nulle, queste non cambiano nel tempo. D’altronde al polo la caduta verticale non è influenzata né dalla forza centrifuga (braccio nullo) né da quella di Coriolis (~ω//~v).

Nella seconda e nella terza equazione di (1) si pu`o confrontare ˙x con ωR.

Risulta:

ωR ' 2π

86400s· 6.3 10⁶m ' 500m/s

sicuramente molto maggiore di ∆x/∆t che `e dell’ordine di pochi millimetri al secondo, come verificheremo alla fine, ma come ci si attende dalle osser- vazioni.

Quindi riscriviamo il sistema (1) come:







¨

x = −2ωc ˙z

¨

y = −ω²Rcs

¨

z = −g + ω²Rc²

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Il risultato `e che la forza di Coriolis ha effetto lungo l’asse x (direzione O- E), mentre lungo gli altri due assi si risente dell’effetto della forza centrifuga.

Ad una latitudine λ = 45^o, il termine centrifugo sia nella seconda che nella terza equazione, `e uguale a:

ω²Rc² ' 4π²6.3 10⁶m

2 · 0.864²10¹⁰s² ' 1.6 10⁻²m/s²

Quindi l’effetto della forza centrifuga lungo l’asse z `e quello di diminuire l’accelerazione di gravit`a di un termine dell’ordine del per mille

Questo stesso effetto influenza anche la definizione di verticale come direzione assunta da un filo a piombo. Infatti l’effetto centrifugo si ha anche per un oggetto fermo nel sistema non inerziale, a differenza della forza di Coriolis. Pertanto un filo a piombo si discosta dalla direzione radiale, che

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sarebbe la direzione di ~g per una terra a simmetria perfettamente sferica, per un angolo dell’ordine di 10⁻³ radianti. Effetto difficilmente apprezzabile nella costruzione delle pareti di una casa, e comunque analogo ad altri effetti legati alla non sfericit`a locale della terra.

Vediamo invece cosa succede in direzione O-E.

¨

x = −2ω cos λ(−gt) → x(t) = 1

3ωg cos λt³ Il tempo di caduta da una altezza h `e

t_c=p

2h/g ' 4, 5s da cui si ricava lo spostamento lungo l’asse x:

∆x = 1

3ωg cos λ(2h/g)t^3/2' 2π · 9.8 3 · 86400√

2(20)^3/2' 1.5cm Lo spostamento `e positivo, quindi avviene in direzione Est.

Si noti che anche nell’emisfero Sud lo spostamento dalla verticale avviene nella stessa direzione, in quanto ∆x dipende dal coseno della latitudine (funzione pari).

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