xy -determinarela velocita ’ e l’accelerazione del puntoun puntomaterialesimuovecon leggiorarie:dove v e sonodue costantipositive Esercizio

- determinare l’espressione intrinseca della velocita’ e dell’accelerazione

Esercizio

- determinare la velocita’ e l’accelerazione del punto

( ) v cos(

)

x t = t  t z t = ( ) 0

un punto materiale si muove con leggi orarie:

( ) v sin(

) y t = t  t

dove v₀ e



( ) r = r t

( ) 0

z t =

xy

ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) 0 x t i y t j k

= + + = v

t cos (  t i ) ˆ + v

t sen (  t j ) ˆ

il fatto che

derivando il vettore posizione rispetto al tempo si otterra’ la velocita’ del punto e derivando la velocita’ si otterra l’accelerazione:

dr dt =

v = _dt ^d ( ^v

^{t cos (  t i ) ˆ + v}

^{t sin (  t j ) ˆ} )

v0cos(



v0sin(



( )

+ v0t −sen(

 

v

 t sen (  t )

0

−

v cos (  t )

+ v0





v

sin (  t ) + v

 t cos (  t )

( v

cos (  t ) − v

 t sen (  t i ) ) ˆ

(

) ˆ

v sin (  t ) v  t cos (  t ) j

+ +

v =

( ^v

^{( ) ˆ} )

d t cos t i

dt 

(

)

d t cos t i

dt



 

 

  d

(

)

t sin t j

dt



 

 

 

(

)

v ( ) diˆ t cos t



+

(

)

v ( ) djˆ t sin t



+ ^d ( ^v

^{t sin ( t j ) ˆ} )

dt 

ma i versori iˆ

sono fissi nel tempo

e

(

)

d t cos t

dt



→

(

)

d t sin t

dt



ˆ j

e ˆ 0

di

dt = ˆ

dj 0 dt =

( )

 ^v

^{cos (  t ) − v}

^{ t sen (  t i ) ˆ}

(

) ^ˆ 

v sen (  t ) v  t cos (  t ) j

+ +

v d

dt =

a = d

dt

0

ˆ

v  sen (  t i )

− − ( ^v

^{ sen (  t ) + v}

^

^{t cos (  t i )} ) ^ˆ

( ^{− 2v}

^{ sen (  t ) − v}

^

^{t cos (  t i )} ) ^ˆ

0

ˆ

+ v  cos (  t j ) ₊ ( ^v

^{ cos (  t ) − v}

^

^{t sen (  t )} ) ^{ˆ j}

(

) ^ˆ

+ 2v  cos (  t ) − v  t sen (  t ) j

a =

per quanto riguarda la traiettoria

2 2 2 2

( ) v

( )

x t = t cos  t y t

( ) = v

t sin

(  t )

x(t)

y(t)

( )

2 2 2 2 2 2

v

( ) ( )

x + y = t cos  t + sin  t

2 2 2 2

v

x + y = t

e sommandole assieme si ottiene

→ la traiettoria del punto materiale e’ una spirale nel piano

xy

quadrando

implica l’uso dell’ ascissa curvilinea

( ) x = x s

( ) y = y s

( ) z = z s

( ) s = s t

equazioni parametriche della traiettoria

equazione oraria

“intrinseco” alla traiettoria stessa

espresse in funzione del parametro s la descrizione del moto di un punto materiale in termini intrinseci

s

( ) x = x t

( ) y = y t

( ) z = z t

in termini di leggi orarie alla descrizione parametrica

e’ l’ ascissa curvilinea che parametrizza la traiettoria in questione

v ds ˆ dt t

=

2

ˆ 1 ( ) ˆ

d s ds

a t u

dt  dt

= +

essere scritte in modo intrinseco come :

dove

s

la velocita’ e l’accelerazione possono

( )

s = s t ( ) (

)

0

'( ') '( ') '

t

x t y t dt

=  +

( v

cos (  t ) v −

 t sen (  t i ) ) ˆ ^{+ v} (

^{sin (  t ) v +}

^{ t cos (  t )} ) ^{ˆ j}

v =

e dato che

( ) s t =

(

) (

)

0

v ( ') v ' ( ') v ( ') v ' ( ') '

t

cos  t

 t sen  t + sin  t

 t cos  t dt



2 2 2 2

0 0

0

v + v ' '

t

t dt



= 

^{s t ( )}

0

v 1 + ' '

t

t dt



= 

ˆ ˆ xi + yj v =

2 2

0

'

t

x + y dt



ˆ ˆ

'( ') '( ')

x t i + y t j

o anche

se

s t ( )

0

v 1 + ' '

t

t dt



= 

ds dt

2 2

d s dt

2 2

v

1 +  t

=

dato che integrale e inverse una dell’altra

2

0 2 2

1 2

v 2 1 + t

t



= 

v

1 + t

t



= 

2 2

0

ˆ

v = v 1 +  t t

( )

2 2

2 2

0 0

2 2

ˆ 1 ˆ

v v 1 +

1 +

a t t t u

t

 

 

 

=   +

 

derivata sono operazioni

2 2

0 ˆ

v = v 1 +



2

0 2 2

v ˆ

1 +

a t t

t





 

=  

 

( v

cos (  t ) − v

 t sen (  t i ) ) ˆ

(

) ˆ

v sin (  t ) v  t cos (  t ) j

+ +

v =

(

^

^

^

^

)

(

)

+ 2v









a =

espressione cartesiana espressione intrinseca

della velocita’ e dell’accelerazione della velocita’ e dell’accelerazione

(

)

1

v (1 +  t ) u ˆ

+ 

dr = ds

per il vettore

dr

dr dr ˆ

dr = ds = t

quindi

percio’ vi sono due modi equivalenti di determinare il versore tangente

ˆ v t = v

ma si ha anche che

ˆ dr t = ds

1 dt

ds ds

dt

=

dr

dt =

2 2 0

1

v 1 +  t

=

v

ma

e

prima maniera :

dr dt dt ds

=

2 2 0

ˆ v

v 1 + t

 t

=

ˆt = ⁽

^{) (}

⁾

2 2 0

ˆ ˆ

v ( ) v ( ) v ( ) v ( )

v 1 +

cos t t sen t i sin t t cos t j

t

     



− + +

ˆt = ( ) ( )

2 2

ˆ ˆ

( ) ( ) ( ) ( )

1 +

cos t t sen t i sin t t cos t j

t

     



− + +

ossia

ovviamente si ottiene lo stesso risultato

ˆ v t = v

determinando il modulo di

v

e utilizzando la

dalla definizione di derivata di un generico versore

ˆ ˆ

ˆ dt u dt

dt dt

=

ˆ ˆ

du d dt dt n

= 

dove il versore

ˆn

ˆu

du ˆ dt

e’ un vettore e per determinare

ˆn

ˆ ˆ du dt du dt

dunque

ˆ

ˆ

dt d

dt dt u

= 

ˆu

ˆ ˆ

dt dt ds dt = ds dt

ds d d

dt dt dt

 

 

= +

s = 

il raggio  e’ costante

lungo il tratto d’arco del cerchio osculatore

d 0 dt

 ₌

quindi

ˆ ˆ

dt d dt dt u

= 

ˆ

ˆ

d dt ds

dt u ds dt

 ₌

esprimendo

ˆt

in funzione di s

che approssima localmente la traiettoria curva

ˆ

ˆ

d dt d

dt u ds dt

 =  

ds d

dt dt

 

=

percio’

ˆ

dt ˆ u = ds 

ˆ 1 ˆ

dt u

ds ⁼ 

ˆ 1 dt

ds ⁼ 

il modulo della derivata del versore tangente rispetto all’ascissa curvilinea fornisce il raggio di curvatura della traiettoria

Ricapitolando:

ˆ ˆ

ˆ dt u dt

dt dt

=

ˆ 1

dt

ds ⁼ 

ˆ dr

t = ds ˆ v

t = v

o anche

ˆ ˆ ˆ

b=t u 

sarebbe determinabile dal gradiente della funzione

( , ) ˆ

( , )

c

f x y

u f x y

= 



a meno del segno, se la curva fosse fornita nella forma f(x,y) = 0 il versore ,

u ˆ

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