Variante n.1 Determinare le eventuali soluzioni stazionarie dell’equazione differenziale y0 = (y − 1) exp x
e la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, dell’associato problema ai valori iniziali:
y0= (y − 1) exp x; y(0) = 2 .
Risposta: a) la soluzione stazionaria `e y = 1, b)
y(x) = 1 + exp(exp x − 1), D = (−∞, ∞)
Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del problema ai valori iniziali:
y0 = y log y; y(0) = 2 e determinarne gli eventuali asintoti
Risposta: a)
y(x) = exp(log 2 exp x), D = (−∞, ∞) b) c’`e l’asintoto orizzontale y = 1, per x → −∞.
Variante n.3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:
y0= y tan x; y(0) = 1 e determinarne i limiti agli estremi di D .
Risposta: a)
y(x) = 1
cos x, D = (−π/2, π/2) b) limx→±π/2y(x) = ∞
1
Variante n.1 Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale definito Z 1
−1
(ax2− 3x3)dx vale 2/3.
Risposta: L’integrale indefinito `e dato da ax3/3 − 3x4/4 + c. L’integrale definito vale 2a/3, quindi sar`a a = 1.
Variante n.2 Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale definito Z π
0
(sin ax − a cos x)dx vale 0.
Risposta: per a = 0 l’integrale `e nullo; per a 6= 0 l’integrale indefinito `e dato da −cos axa − a sin x + c.
L’integrale definito vale 1−cos aπa , quindi a = 2n, n ∈ N.
Variante n.3 Determinare gli eventuali valori del parametro a ∈ R per cui l’integrale definito Z π
−π
(a sin(x3) − cos(ax))dx
vale 0. [Suggerimento: non `e necessario calcolare la primitiva di sin(x3).]
Risposta: Poich´e la parte dispari dell’integrando d`a contributo nullo all’integrale, basta considerare l’altro addendo (− cos(ax)) che, per a 6= 0, d`a come integrale definito 2 sin aπa , quindi dovr`a essere a intero non nullo.
Variante n.1 Al variare di a ∈ R\{1}, calcolare il limite
x→0lim
exp(sin(ax)) − 1 − x (a − 1)x Risposta: 1, ∀a
Variante n.2 Al variare di a ∈ R\{0}, calcolare il limite
x→0lim
exp(tan(ax)) − 1 − x ax
Risposta: 1 − 1/a
Variante n.3 Al variare di a ∈ R, calcolare il limite
x→0lim
log(1 + ax) − ax + ax2 x2
Risposta: a(1 − a/2)
Variante n.1 Determinare gli autovalori della seguente matrice, e calcolare l’autovettore relativo all’autovalore massimo:
3 0 −1
0 1 0
−1 0 3
Risposta: Autovalori λ = 1, 2, 4. Autovettore per λ = 4: (1, 0, −1).
Variante n.2 Determinare gli autovalori della seguente matrice, e calcolare l’autovettore relativo
all’autovalore massimo:
4 0 3
0 2 0
12 0 4
Risposta: Autovalori λ = −2, 2, 10. Autovettore per λ = 10: (1, 0, 2).
Variante n.3 Determinare gli autovalori della seguente matrice, e calcolare l’autovettore relativo all’autovalore massimo:
−5 0 18
0 −3 0
2 0 −5
Risposta: Autovalori λ = −11, −3, 1. Autovettore per λ = 1: (3, 0, 1).
Variante n.1 Dire per quali valori del parametro t il sistema ammette una, nessuna o infinite soluzioni, e calcolarle per t = 0:
2 −1 5
3 0 3
5 −1 t
x y z
=
−2 t 6
Risposta: t 6= 8 : ∃! sol. t = 8: ∞ sol. t = 0: x = 1, y = −1, z = −1
Variante n.2 Dire per quali valori del parametro t il sistema ammette una, nessuna o infinite soluzioni, e calcolarle per t = 0:
6 3 −2
−1 4 3
5 7 t
x y z
=
t 3 4
Risposta: t 6= 1 : ∃! sol. t = 1: ∞ sol. t = 0: x = −2627, y = 3427, z = −1
Variante n.3 Dire per quali valori del parametro t il sistema ammette una, nessuna o infinite soluzioni, e calcolarle per t = 0:
−1 −2 0
5 3 2
4 1 t
x y z
=
3 2 t
Risposta: t 6= 2 : ∃! sol. t = 2: nessuna sol. t = 0: x = 37, y = −127, z = 52
Variante n.1 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della funzione
f (x) = x2+ x + 4 x2+ x + 1.
Risposta: D(f ) = R. As.orizz: y = 1. max= (−1/2, 5). Flessi: (0, 4), (−1, 4).
Variante n.2 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della funzione
f (x) = x2− x − 2 x2− x + 1.
Risposta: D(f ) = R. As.orizz: y = 1. min=(1/2, −3). Flessi: (0, −2), (1, −2).
Variante n.3 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della funzione
f (x) = x2+ 3x + 6 x2+ 3x + 3.
Risposta: D(f ) = R. As.orizz: y = 1. max= (−3/2, 5). Flessi: (−1, 4), (−2, 4).
