Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali: y0 = 1 + y2 2y x

Esercizio n.1 2^o Esonero di Matematica per Scienze Biologiche - 14-12-2013 Variante n.1 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = 2x

1 + x²y²; y(0) = 1 e calcolarne i limiti agli estremi.

Risposta: a)y(x) = _1−log(1+x¹ 2), D = (−√

e − 1, +√

e − 1); b) lim_x→±^√_e−1y(x) = ∞

Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = 1 + y²

2y x; y(0) = 1 e calcolarne il minimo assoluto.

Risposta: a)y(x) = q

2 exp(^x₂² − 1, D = (−∞, ∞) b) il minimo `e in zero e vale 1.

Variante n.3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = − x

cos y; y(1) = 0 e calcolarne il minimo assoluto.

Risposta: a) y(x) = arcsin(^−1+x₂ ²), D = [−2, 2] b) il minimo `e in zero e vale −π/2.

Variante n.4 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = y²sin x; y(π/2) = 1 e calcolarne i limiti agli estremi.

Risposta: a) y(x) = _1+cosx¹ , D = (−π, π) b) i limiti agli estremi valgono ∞.

Variante n.5 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ =

r1 − y²

1 − x²; y(0) = 1 e calcolarne il massimo assoluto.

Risposta: a) y(x) = ^1−x_, ² D = (−1, 1) b) il massimo `e in zero e vale 1.

Variante n.6 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰=r 1 − x

1 − y; y(1) = 0 e calcolarne i limiti agli estremi.

Risposta: a) y(x) = 1 − (1 + (1 − x)^3/2)^2/3, D = (−∞, 1] b) lim_x→−∞y(x) = −∞, lim_x→1⁻y(x) = y(1) = 0.

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Esercizio n.2 2^o Esonero di Matematica per Scienze Biologiche - 14-12-2013 Variante n.1 Calcolare L’integrale definito

Z 1 0

exp(x^1/3)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e exp(x^1/3)(3t²− 6t + 6) + c; quello definito vale 3e − 6 . Variante n.2 Calcolare L’integrale definito

Z 2 1/2

exp(

√ 2x)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e exp(√ 2x)(√

2x − 1) + c; quello definito vale e² . Variante n.3 Calcolare L’integrale definito

Z π/2 0

sin(√ 2x)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e sin(√

2x) −√

2x cos(√

2x) + c; quello definito vale π . Variante n.4 Calcolare L’integrale definito

Z π³ 0

cos(x^1/3)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e sin(x^1/3)(3x^2/3− 6) + 6x^1/3cos(x^1/3)) + c; quello definito vale −6π .

Variante n.5 Calcolare L’integrale definito Z 7

0

log√³

1 + xdx

Risposta: L’integrale indefinito `e ¹₃(1 + x)(log(1 + x) − 1) + c; quello definito vale 8 log 2 − 7/3 . Variante n.6 Calcolare L’integrale definito

Z 1 0

log(1 +√ x)dx

Risposta: L’integrale indefinito `e (1 +√

x)²(log(1 +√

x) − 1/2) − 2(1 +√

x)(log(1 +√

x) − 1) + c;

quello definito vale 1/2 .

Esercizio n.3 2^o Esonero di Matematica per Scienze Biologiche - 14-12-2013 Variante n.1 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = e^−2x+ 3x − 1 Risposta:

Variante n.2 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = e^−4x+ x + 2 Risposta:

Variante n.3 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = −e^−3x− 5x + 4 Risposta:

Variante n.4 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = e^2x− 3x − 4 Risposta:

Variante n.5 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = e^4x− x + 3 Risposta:

Variante n.6 Determinare dominio, asintoti, massimi e minimi relativi, concavit`a e convessit`a e tracciare il grafico della seguente funzione:

f (x) = −e^3x+ 5x − 2 Risposta: