(1)Esercizio n.1 II Esonero di Calcolo2 per Chimica Variante n.1 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali: y0 = x 1 + x2y2

Esercizio n.1 II Esonero di Calcolo2 per Chimica - 20-12-2013 Variante n.1 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = x

1 + x²y²; y(0) = 2 e verificare esplicitamente la correttezza della soluzione.

Risposta:

y(x) = 2

1 − log(1 + x²); D = (−√

e − 1,√ e − 1)

Variante n.2 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = y²cos x; y(0) = 1 e verificare esplicitamente la correttezza della soluzione.

Risposta:

y(x) = 1

1 − sin x; D = (−3π/2, π/2)

Variante n.3 Determinare la soluzione, con il suo dominio d’esistenza D, del seguente problema ai valori iniziali:

y⁰ = 1 + y²

y x; y(0) = 2 e verificare esplicitamente la correttezza della soluzione.

Risposta:

y(x) =p

5 exp(x²) − 1; D = R

1

Esercizio n.2 II Esonero di Calcolo2 per Chimica - 20-12-2013 Variante n.1 Determinare i valori dei parametri a e b per cui la forma

ω = axydx + (x²+ by)dy

sia esatta. Calcolarne per tali valori la primitiva V (x, y) nulla in (0, 0).

Risposta: Risulta a = 2, ∀b ∈ R; V (x, y) = x²y + y²b/2

Variante n.2 Determinare i valori del parametro a per cui la forma ω = ydx + (x + ay + z)dy + ydz sia esatta. Calcolarne per tali valori le primitive V nulle in (0, 0, 0).

Risposta: Risulta ∀a ∈ R; V (x, y, z, a) = (x + z)y + y²a/2.

Variante n.3 Determinare i valori del parametro a per cui la forma ω = (ye^x− e^y)dx + (e^x+ axe^y)dy sia esatta. Calcolarne per tali valori le primitive V nulle in (0, 0) Risposta: Risulta a = −1; V (x, y) = ye^x− xe^y.

Esercizio n.3 II Esonero di Calcolo2 per Chimica - 20-12-2013 Variante n.1 Valutare l’integrale di linea

I

γ

2(x²+ y²)dx + (x + y)²dy dove γ =−−→

AB ∪−−→ BC ∪−→

CA, con A = (1, 1), B = (2, 2), C = (1, 3). Verificare il risultato con una formula di Green.

Risposta: −4/3

Variante n.2 Valutare l’integrale di linea I

γ

−x²ydx + xy²dy

dove γ `e la circonferenza di centro (0, 0) e raggio r, orientata in verso antiorario. Verificare il risultato con una formula di Green.

Risposta: πr⁴/2

Variante n.3 Valutare l’integrale di linea I

γ

(x + y)dx − (x − y)dy dove γ =−−→

AB ∪ dBA, con A = (−1, 0), B = (1, 0) e dBA `e l’arco di parabola d’equazione y = 1 − x² tra B ed A, il tutto orientato in verso antiorario. Verificare il risultato con una formula di Green.

Risposta: −8/3