Descrizione della dinamica del plasma a più fluidi

Lezione 11

Equazioni Magneto-idrodinamiche

G. Bosia

Universita’ di Torino

Descrizione della dinamica del plasma a più fluidi

Nelle lezioni precedenti abbiamo derivato le equazioni cinetiche di un plasma, che

descrivono come evolve la funzione di distribuzione delle particelle nello spazio delle fasi e poi, utilizzando i momenti della distribuzione, abbiamo ridotto il numero di variabili

dell’equazione da sette a quattro, generando equazioni per parametri fisici e dinamici (densità di particelle, quantità di moto, energia cinetica,…..) che descrivono il plasma come un miscuglio di fluidi di particelle con masse e cariche diverse, sotto l’ azione di forze (soltanto) elettromagnetiche, che evolvono nel tempo e nello spazio rispettando leggi di conservazione (del numero di particelle, della quantità di moto, dell’ energia) e che interagiscono tra di loro e con le altre specie medianti collisioni.

Ciascuna specie e’ descritta da un set di equazioni formalmente uguali, che differiscono soltanto per il fatto che appaiono cariche, masse e termini di collisione [R] diversi.

Nel caso più semplice di due specie, ci sono due set di equazioni, uno per specie, che sono accoppiati dai termini di collisioni e dalle equazioni di Maxwell, che, dalle

distribuzioni di carica e di correnti prodotti dalle equazioni fluide, calcolano, in un modo auto-consistente, i campi elettromagnetici globali che dirigonoil moto delle cariche.

Descrizione della dinamica del plasma a più fluidi

Si e’ anche visto come le equazioni a “ due fluidi” sono equazioni differenziali a derivate parziali non lineari, che per essere trattate analiticamente necessitano di semplificazioni, lecite in casi particolari, e pertanto largamente utilizzate quando possibile, che sono in ogni caso utili a comprendere il comportamento fisico del plasma.

In questa lezione discutiamo le equazioni un modello di plasma “a un solo fluido”, il

modello Magnetoidrodinamico (MHD), che e’ molto usato per plasmi rilevanti alla fusione termonucleare e che e’ derivato dalla meccanica di fluidi conduttori immersi in campi elettromagnetici.

Nel modello MHD il plasma e’ trattato come un singolo fluido che evolve nello spazio e nel tempo con una velocità V (velocità del fluido )

(XI-54)

∑

=

∑

j j j

j j j j

m n

m n V

u

Descrizione a un solo fluido (MHD)

La (XI-54) è formalmente identica alla definizione di velocità del baricentro di un insieme di punti materiali. Se la densità di massa (r _j= n_j m_j) di ogni componente del plasma fosse concentrata in un punto mobile nello spazio con velocità u_j, la velocità V sarebbe la velocità con cui si muove il centro di massa dei punti.. Alternativamente la velocità V e’ una 'media delle medie‘ :delle velocità u_j (già mediate su ogni

componente), ossia rappresenta la media pesata delle u_j se si assume come 'funzione peso ’ la densità di massa delle rispettive componenti. V rappresenta pertanto la

velocità macroscopica media con cui si muove la massa del plasma.

E' evidente che questa velocità avrà un significato quando le componenti del plasma si muovono in modo solidale. Il suo significato è meno evidente se il moto delle componenti (tipicamente quello degli elettroni e quello degli ioni) e’ apprezzabilmente diverso.

Il modello magnetoidrodinamico (o MHD) è perciò adatto a descrivere il moto di

insieme del plasma, in particolare studiare situazioni di equilibrio macroscopico e non a descrivere fenomeni in cui è essenziale il moto relativo degli elettroni e degli ioni o il moto di una particolare componente, per i quali si deve adottare un modello a due fluidi.

Equazioni MHD

Dalla equazione di continuità

moltiplicata per m e sommata su tutte le specie di particelle, si ottiene l'equazione di continuità per il fluido:

(XI-55)

dove abbiamo indicato la densità di massa del plasma totale con:

Analogamente, possiamo ottenere l'equazione del moto fluido, che può essere scritta nella forma:

(XI-56)

con

dove il tensore di pressione del fluido ΠΠΠΠ è espresso nel sistema di coordinate mobile col fluido

0 )

( =

∂ +

∂

j j

j div n

t

n u

B J E V Π

V V

∧ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂

c

m div

t ρ

ρ ^{[ ( ) ] ( )}

∑

= _{j j j}

m n m

ρ

0 )

( =

∂ +

∂ ^m div _mV

t ρ

ρ

x x x k k

i j i

jm f v V v V dv dv dv

Πik ⁼

∑ ∫∫∫

Equazioni MHD

Il secondo membro della (XI -56) si ricava dal secondo membro delle (X-35), dopo aver sommato sulle j, impiegando le (X-34, -36 e -37). Il primo membro della (XI-56) invece si ricava

dall'equazione del moto delle componenti del fluido nella forma (VIII -18)

(VIII-18)

cioè come legge di conservazione della densità di quantità di moto per ogni specie. Sommando allora sulle j otteniamo, in base alla (XI-54), un'equazione contenente la variazione nel tempo della densità di quantità di moto del fluido

che, con una trasformazione del tipo di quella che ha portato dalla (VIII-17) alla (X-28), questa equazione può essere scritta nella forma (XI-56).

Nei modello “MHD “ideale” si assume che l’ ipotesi di quasi neutralità (ρ_c = 0) non viene fatta solo per gli stati di equilibrio. ma in ogni condizione: questo è coerente col fatto che il modello si

presta a descrivere i moti di insieme, a cui partecipano tutte le componenti del plasma. Pertanto il termine ρ_cE nell’ equazione MHD e’ in generale posto uguale a zero

.

>

<

−

∂ =

>

<

+ ∂

∂

∂

∑

= k

i i

k i

k n F

x v v mn mn

t

f ³

1

) u (

) (

) (

3

1

V u

u _m

i

j j j j

j

j n m t

m t

t n ρ

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

∑

∑

B J E V Π

V V

Λ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂

c

m div

t ρ

ρ ^{[ ( ) ] ( )}

Equazioni precedentemente ricavate utilizzate in questa lezione

(X-34)

(X-28)

(X-35)

(X-36)

(X-37)

(VIII-17)

(VIII-9)

(VIII-10

= 0

∑

j j

j j j

j j

j j

j j

j div n q n q

m t

n u u u ψ E u B R

+

∧ +

= +

∇

⋅

∂ +

∂ ( ) ] ( ) ( )

[

j j j

Cj ⁼

∑

ρ

j j j j

j q n u

j ⁼

∑

>

<

−

∂ =

>

<

+ ∂

∂

∂

∑

= k

i i

k i

k n F

x v v mn mn

t

f ³

1

) u (

∑ ∫∫∫

∑

= _{j j j j j x y z}

C(r,t) q n(r,t) q f (r,v,t)dv dv dv

ρ

∑ ∫∫∫

∑

= _jq_jn_j t _j t _jq_j f_j t dv_xdv_ydv_z

t) ( , ) ( , ) ( , , )

,

(r r u r v r v

j

k

i i

ik i

i i

k i

k f

u x x

u u t

nm u =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∑ ∑

=

=

3

1 3

1

]

[ ψ

Equazione MHD

Se viene introdotta l'ipotesi di 'pressione scalare‘ l'equazione del moto diventa:

(XI-57)

cioè l'equazione della dinamica dei fluidi conduttori (o magneto-fluido-dinamica), ossia di fluidi grado cioè di trasportare elettricità con alta conducibilità.

Se questa equazione viene anche 'linearizzata’, il termine e’ trascurato e l’ equazione può essere scritta come:

[XI-58)

Dalle equazioni di continuità (XII-32) si può ricavare l'equazione di conservazione della carica. Infatti, moltiplicando per q_j, sommando su j e ricordando le (VIII-9 e 10), si ottiene i:

(XI-59)

Un'altra equazione spesso in calcoli MHD è la legge di Ohm generalizzata.

Per ricavarla, consideriamo per semplicità un plasma a due componenti (elettroni ed una specie di ioni), per le quali valgano delle equazioni del moto con pressioni scalari e

linearizzate, come le (XII-50 e 51).

B V J

∧

=

∇ + p dt

d ρm

B V J

∧

=

∇

∂ +

∂ p

m t ρ

V V V

)]

(

[ + ⋅∇

∂

= ∂ t dt

d

) ( )

( grad P

div Π =

0 )

( =

+div J dt

dρ_C

Equazioni MHD

Facendo la differenza fra le due equazioni (X-50 e 51), dopo aver moltiplicato la prima per 1/M e la seconda per 1/m,

(X-50) 1/m

(X-51) 1/M otteniamo

Il primo membro, a meno di termini del 2° ordine, che abbiamo trascurato, è uguale a m P M

m grad P

M grad m

e n M

e e n

m n M

n

n t n t

e e

e i

e e i

e e i i

e e i i

R R

u B u

u u

E u u

u u

i i

i + ∧ − + + +

+

−

=

∂ =

− ∂

∂

∂

) ( )

( )

( )

(

t e n t

n_i tⁱ _e ^{e i}

∂

= ∂

∂

− ∂

∂

∂u u 1 J

e e

e e

e e

i j

i i

i i

e n P

t grad m

n

e n P

t grad M

n

R B

u u E

R B

u u E

+

∧ +

−

=

∂ +

∂

+

∧ +

=

∂ +

∂

)]

( [

) (

)]

( [

) ( ]

Legge di Ohm generalizzata

Rimaneggiando i vari termini, moltiplicando tutto per mM/ρ_me, utilizzando la R_i= -R_e questa relazione può essere scritta come:

(XI-60)

con (XI-61)

η è una costante di proporzionalità, il cui significato fisico sarà visto fra poco.

Si e’ supposto implicitamente che il termine di interazione R sia proporzionale alla densità di corrente J, dato che è ragionevole assumere che la quantità di moto scambiata per collisioni fra elettroni ed ioni sia proporzionale alla velocità relativa dei due specie di particelle.

] )

( ) ( )

( 1 [

2 J E V B J J B

∧

−

−

⋅

−

⋅ +

−

∧ +

∂ =

∂ M grad P m grad P M m

e t

e mM

e e

m

m η ρ

ρ

e me

M

m R

J ρ η = ⁺

Legge di Ohm generalizzata

Se B=0 e i gradienti delle pressioni cinetiche sono entrambi nulli, la (XI-60) si riduce a

che è la legge di Ohm dei conduttori ordinari, ed η e assume il significato di resistività elettrica.

Possiamo allora considerare la (XI-60) come la legge di Ohm generalizzata ed η ^{come la} definizione della la resistività del plasma.

Dato che m<< M, spesso si trascurano i termini di ordine m/M, entro parentesi quadra. Se, oltre a questi, si trascurano anche le derivate parziali rispetto al tempo

il che è lecito quando si considerano i fenomeni stazionari o lentamente variabili, la (XI-60) diventa:

Je

E =η

0 ] )

(

[ − ∧ =

+

−

∧

+ V B J J B

E _e

m

P e grad

M η ρ

→ 0

∂

∂ t

Legge di Ohm generalizzata

Possiamo ricavare il valore da sostituire a dall'equazione del moto del fluido (XI-58)

che in condizioni di stazionarietà (∂/∂t = 0) dà:

d'altra parte, per un plasma di elettroni e di ioni di una sola specie sarà : p = p_e+ p_i

come avviene per tutte le miscele gassose (legge di Dalton). Quindi otteniamo in definitiva

(XI-62)

Osserviamo infine che, qualora si possa trascurare il termine di pressione, la (XI-62) diventa la legge di Ohm ordinaria per fluidi conduttori in moto :

(XI-63)

B V J

∧

=

∂ +

∂ ( _e)

m grad P

ρ t

B J ∧

= ) (P grad

) 1 (

i e

P en grad

+

⋅

=

∧

+ V B J

E η

J B

V

E+ ∧ =η B J ∧

Velocità ‘lagrangiana’ di un fluido

Nello studio del moto dei fluidi, esistono due modi per rappresentare la velocità di un elemento di fluido in movimento.

La 'velocita lagrangiana, adottata tipicamente nella descrizione del moto di un corpo solido (come una particella singola), è una grandezza vettoriale funzione del tempo v(t) che e’ attribuita ad un elemento di fluido ben individuato, che ad ogni istante dà la velocità di quell ' elemento di fluido, ovunque esso si trovi.

La derivata rispetto al tempo della velocità lagrangiana dv/dt fornisce l'accelerazione a cui e sottoposto quel determinate elemento di fluido ad un istante dato.

) , t v( tr

∂

∂

dt t t d ( )

)

( v

a =

Velocità euleriana

La 'velocità euleriana’, tipicamente adottata in meccanica dei fluidi, viceversa, e’

una funzione vettoriale dello spazio e del tempo v(r,t) che e rappresenta la velocità con cui gli elementi del fluido transitano all'istante t per il punto di coordinate r

:

La derivata parziale rispetto al tempo di questa velocità e indica come varia la velocità degli elementi di fluido che all'istante t transitano per il punto r, rispetto alla velocità di altri elementi di fluido che in istanti vicini transitano per lo stesso punto r. Questa derivata parziale rispetto al tempo nulla ha a che vedere, in generale, con l’

accelerazione a cui sono sottoposti gli elementi di fluido che all'istante t si trovano nel punto r.

Velocità ‘lagrangiana’ ed ‘euleriana’ di un fluido

Se risulta, per esempio, che la ∂v/∂t è identicamente nulla, ciò significa che il moto del fluido è stazionario (cioè non varia nel tempo) in quel punto, ma non necessariamente che gli elementi del fluido in quel punto non sono sottoposti ad accelerazione

Le due velocità, 'lagrangiana' e quella 'euleriana', sono numericamente uguali (nel senso che se un certo elemento di fluido ad un istante t si trova in un punto r con

velocità (lagrangiana) v(t), questo stesso valore coincide con la velocità (euleriana) del fluido nel punto r all'istante t : v(r,t), ma le due rappresentazioni hanno una dipendenza funzionale diversa.

Nelle equazioni del moto dei fluidi, si presenta la necessita di dover esprimere l‘

accelerazione degli elementi del fluido, avendo a disposizione la velocità euleriana e non quella lagrangiana. Possiamo valutare questa accelerazione in base al limite per t -

> 0 del rapporto incrementale delle velocità fra gli istanti t e t+ dt degli elementi di fluido che all'istante t si trovano in r e all'istante t+ dt si sono spostati nel punto r+v dt:

Eseguendo il differenziale totale si riconosce che questo limite dà la derivata totale della velocità euleriana rispetto al tempo

con

)]

, ( ) ,

( 1 [

lim

v v v

)]

(

[ + ⋅∇

∂

= ∂ t dt

d

Velocità ‘lagrangiana’ ed ‘euleriana’ di un fluido

la ragione intuitiva di questo fatto è che per eseguire correttamente questa operazione di derivata occorre seguire l'elemento di fluido nel suo moto.

I concetti espressi a proposito della velocità, valgono per qualsiasi altra funzione scalare o vettoriale dello spazio e del tempo, di cui vogliamo calcolare la variazione nel tempo in un punto fisso dello spazio oppure i un punto mobile col fluido.

Consideriamo per esempio la densità di massa ρ(r,t). La derivata parziale rispetto al tempo ∂ρ^/∂t esprime la variazione di densità di elementi di fluido che in istanti successivi transitano per il punto r. La derivata totale :

'

indica la variazione di densità di un ben individuato elemento di fluido, seguito nel suo moto.

Si definisce fluido incompressibile un fluido per il quale in tutti i punti la derivata totale dρ(r,t)/dt è identicamente nulla.

Ciò non implica che la ∂ρ(r,t)/∂t è nulla (che significa soltanto che il fluido incompressibile e’ in regime stazionario in quel punto), né che la densità del fluido è uniforme nello

spazio.

) ( _m

m

m grad

t dt

dρ ρ _{− ⋅} ρ

∂

= ∂ v

Velocità ‘lagrangiana’ ed ‘euleriana’ di un fluido

L’ equazione di continuità (vedi (XI-55)):

sviluppando la divergenza del prodotto di uno scalare per un vettore, può essere scritta

ossia

quindi la condizione di incompressibilità dρ/dt = 0 equivale alla 0

)

( =

∂ +

∂ρ ρv t div

0 ) ( )

( + ⋅ =

∂ +

∂ρ ρ ρ

grad t div v v

0 )]

(

[ =

⋅

∂ +

∂ grad div v t ρ

ρ

0 ) (v = div