Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 1

Calcolo delle Probabilità 2013/14 – Foglio di esercizi 1

Spazi di probabilità.

Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi numero 4, 5, 6 e 7.

Esercizio 1. Sia data un’arbitraria famiglia {A_i}_i∈I di σ-algebre sullo stesso insieme Ω.

(a) Si mostri che l’intersezione A =T

i∈IA_i := {A ⊆ Ω : A ∈ A_i ∀i ∈ I} è sempre una σ-algebra su Ω.

(b) Si mostri che l’unione B = S

i∈IA_i := {A ⊆ Ω : ∃i ∈ I tale che A ∈ Ai} non è necessariamente una σ-algebra su Ω.

Esercizio 2. Siano Ω, E due insiemi non vuoti e sia f : Ω → E un’applicazione qualunque.

(a) Per ogni B ⊆ E, definiamone la controimmagine f⁻¹(B) come

f⁻¹(B) := ω ∈ Ω : f (ω) ∈ B ⊆ Ω (con f⁻¹(∅) := ∅) . Si mostri che per ogni scelta di B, {B_i}_i∈I sottoinsiemi di E si ha f⁻¹(B)
c

= f⁻¹(B^c) , f⁻¹ [

i∈I

B_i

!

= [

i∈I

f⁻¹(B_i) , f⁻¹ \

i∈I

B_i

!

= \

i∈I

f⁻¹(B_i) , ossia la controimmagine rispetta le operazioni insiemistiche.

(b) Per ogni A ⊆ Ω, definiamone l’immagine f (A) come

f (A) := f (ω) : ω ∈ A} = x ∈ E : ∃ω ∈ A tale che f (ω) = x (con f (∅) := ∅) . Si mostri che per ogni scelta di {A_i}_i∈I sottoinsiemi di Ω si ha

f [

i∈I

Ai

!

= [

i∈I

f (Ai) , ma che in generale

f (A)
c

6= f (A^c) , f \

i∈I

A_i

!

&

\

i∈I

f (A_i) .

Esercizio 3. Siano Ω, E due insiemi arbitrari e f : Ω → E un’applicazione qualunque.

(a) Sia E ⊆ P(E) una σ-algebra su E. Si mostri che la famiglia di sottoinsiemi f⁻¹(E ) := {f⁻¹(B) : B ∈ E } = {A ⊆ Ω : ∃B ∈ E tale che A = f⁻¹(B)}

è una σ-algebra su Ω.

(b) Sia A ⊆ P(Ω) una σ-algebra su Ω. Si mostri che in generale la famiglia di sottoinsiemi f (A) := {f (A) : A ∈ A} = {B ⊆ E : ∃A ∈ A tale che B = f (A)}

non è una σ-algebra su E.

(c) Sia A ⊆ P(Ω) una σ-algebra su Ω. Si mostri la famiglia di sottoinsiemi G := {B ⊆ E : f⁻¹(B) ∈ A} = {B ⊆ E : ∃A ∈ A tale che A = f⁻¹(B)} . è una σ-algebra su E.

†Ultima modifica: 3 ottobre 2013.

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Esercizio 4. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e sia {A_n}_n∈Nuna successione di eventi.

(a) Si mostri che se P(A_n) = 0 per ogni n ∈ N allora P(S

n∈NA_n) = 0.

(b) Si mostri che se P(A_n) = 1 per ogni n ∈ N allora P(T

n∈NAn) = 1.

Esercizio 5. Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità. Si mostri che la famiglia di insiemi F := {A ∈ A : P(A) ∈ {0, 1}}

è una σ-algebra.

Esercizio 6. Per ciascuno dei seguenti esperimenti aleatori, si determini uno spazio campionario Ω adeguato.

(a) Lancio un dado a sei facce e una moneta.

(b) Lancio n volte una moneta.

(c) Lancio n monete.

(d) Lancio una moneta ogni secondo, senza mai fermarmi.

(e) Osservo i 5 numeri estratti sulla ruota di Venezia del Lotto.

(f) Mescolo un mazzo da 40 carte e poi giro, una dopo l’altra, le prime 20 carte.

Esercizio 7. Siano A, {A_k}_k∈N sottoinsiemi di un’insieme fissato Ω.

(a) Si mostri che A_k ↑ A se e solo se A^c_k↓ A^c.

(b) Supponiamo che A_k↑ A e poniamo B_k := A_k∪ A^cper k ∈ N. Si mostri che Bk ↑ Ω.

(c) Poniamo A_k:=Sk

i=1C_i per k ∈ N (non facciamo alcuna ipotesi sugli insiemi {Ci}_i∈N).

Si mostri che A_k ↑ A :=S

i∈NCi.

(d) Supponiamo che A_k ↑ A e poniamo C_k := Ak\ A_k−1 per k ∈ N (con A0 := ∅). Si mostri che:

• gli insiemi {C_k}_k∈N sono a due a due disgiunti: C_k∩ C_l= ∅ per ogni k 6= l;

• Sn

k=1Ck= An per ogni n ∈ N;

• S

k∈NC_k= A.

Esercizio 8 (Formula di inclusione-esclusione). Dato uno spazio di probabilità (Ω, A, P), siano A₁, A₂, . . . , A_n∈ A eventi. Si dimostri per induzione che

P(A₁∪ A₂∪ · · · ∪ A_n) =

n

X

k=1

X

J ⊆{1,2,...,n}

tali che |J |=k

(−1)^k+1P \

i∈J

A_i

! .