Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione- Canale 1 I prova di accertamento di Fisica Generale 2 – 28 Novembre 2015

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione- Canale 1 I prova di accertamento di Fisica Generale 2 – 28 Novembre 2015

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Tre piani isolanti, indefiniti e di spessore trascurabile, P

1

, P

2

e P

3

sono caricati con densità di carica uniforme σ

1

= 3 μC/m

²

, σ

2

= –5 μC/m

²

e σ

3

= 6 μC/m

²

. La distanza fra il piano P

1

e il piano P

2

è d

1

= 20 cm e la distanza fra il piano P

2

e il piano P

3

è d

2

= 30 cm; fra P

2

e P

3

è inserito un materiale dielettrico di costante dielettrica relativa al vuoto ε

r

= 5 e spessore h = 10 cm; un protone (massa m = 1.67 × 10

⁻²⁷

kg e carica e = 1.6 × 10

⁻¹⁹

C ) si trova nel punto Q a distanza x

0

= 2h da P

3

in moto verso il piano con velocità orizzontale di modulo v

⁰

= 2 × 10

⁶

m/s . Determinare:

1) il campo elettrostatico nelle zone dello spazio senza dielettrico
E

_A

,

E

_B

,
E

_C

,

E

_D

2) il potenziale di ciascun piano, posto V

1

= 0 su P

1

V

2

, V

3

3) la densità di carica di polarizzazione sulla superficie del dielettrico σ

P

4) la minima distanza dal piano P

3

a cui arriva il protone d

min

Q

A B C

e 2h σ ₂

σ ₁

P ₁ P ₂

+

d ₂

h σ ₃

ε _r

P ₃ D

d ₁

v ₀ x

y

1) Utilizzando il principio di sovrapposizione E

_A

= E

_A

u

_x

= − σ

¹

2ε

₀

− σ

²

2ε

₀

− σ

³

2ε

₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u

_x

= − σ

¹

+ σ

₂

+ σ

₃

2ε

₀

u

_x

= −226kV/m ( ) ^u

x

E

_B

= E

_B

u

_x

= σ

¹

2ε

₀

− σ

²

2ε

₀

− σ

³

2ε

₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u

_x

= σ

¹

− σ

₂

− σ

₃

2ε

₀

u

_x

= 113kV/m ( ) ^u

x

E

_C

= E

_C

u

_x

= σ

¹

2ε

₀

+ σ

²

2ε

₀

− σ

³

2ε

₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u

_x

= σ

¹

+ σ

₂

− σ

₃

2ε

₀

u

_x

= −452kV/m ( ) ^u

x

E

_D

= E

_D

u

_x

= σ

¹

2ε

₀

+ σ

²

2ε

₀

+ σ

³

2ε

₀

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u

_x

= σ

¹

+ σ

₂

+ σ

₃

2ε

₀

u

_x

= 226kV/m ( ) ^u

x

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪

2) I campi elettrostatici sono uniformi, per cui osservando che nel dielettrico il campo è
E

_d

=

E

_C

ε

_r

e utilizzando la definizione

V

_B

− V

_A

= −
Eid

r

A

∫

B

si ricava, posto V

1

= 0,

V

₂

= −E

_B

d

₁

= −22.6kV V

₃

= V

₂

− E

_C

( d

₂

− h ) ^{− E} _ε

^c

r

h = 76.8kV

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

3)Il problema ha simmetria planare, per cui applicando il teorema di Gauss ad un cilindro di Gauss con asse normale ai piani, una base nello spazio vuoto prima del dielettrico e una base nel dielettrico si ha

EidA

u

_n

cilindro di Gauss

∫ ^{= q} ε

^P₀

⇒ E

_c

A − E

_c

ε

_r

A = σ

^P

A

ε

₀

e si ottiene

σ

_P

= ε

₀

E

_c

− E

_c

ε

_r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ε

₀

E

_c

ε

_r

− 1

ε

_r

= 3.2 × 10

⁻⁶

Cm

⁻²

oppure si osserva che, data la simmetria planare e supponendo il dielettrico isotropo, la densità di carica di polarizzazione è pari al modulo della polarizzazione che è a sua volta proporzionale al campo elettrostatico nel dielettrico

E

_d

=

E

_C

ε

_r

, per cui

σ

_P

=

P = ε

₀

( ε

_r

− 1 ) ^E

d

= ε

₀

( ε

_r

− 1 ) ^E _ε

^c

r

= ε

₀

E

_c

ε

r

− 1 ε

r

= 3.2 × 10

⁻⁶

Cm

⁻²

3) Utilizzando la legge di conservazione dell’energia

∆ E

_c

+ e V (

_f

− V

_Q

) ^{= 0 ⇒ − 1} ₂ ^mv

⁰²

^{− eE}

^D

( ^x

^f

^{− x}

⁰

) ^{= 0}

si ricava

d

_min

= x

₀

− mv

₀²

2eE

_D

= 2h − mv

₀²

2eE

_D

= 10.8 cm

oppure si osserva che il campo nella regione D è uniforme e quindi il moto è uniformemente accelerato con accelerazione

a
= − eE

_D

m

u

_x

= −2.16 × 10 (

⁻¹³

m/s

²

) ^u

^x

per cui il protone si ferma all’istante

0 = v

₀

+ at ⇒ t = − v

₀

a = 92.4 ns dopo avere percorso la distanza

∆ x = v

₀

t + 1

2 at

²

= 9.2 cm a distanza dal piano

d

_min

= x

₀

− ∆x = 2h − ∆x = 10.8 cm

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Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 2

Due spire circolari, rispettivamente di raggio R

1

=10 cm e R

2

=20 cm, sono poste coassiali a distanza 2d = 10 cm fra di loro. Su ciascuna spira circola la corrente stazionaria i = 8 A, ma in verso opposto. Calcolare:

1) il campo magnetico sull’asse delle spire nel punto P al centro fra di esse
B

_P

Se nel punto P c’è un piccolo dipolo magnetico cui compete l’energia U

_m

= − 3 × 10

⁻¹¹

J e che subisce un momento meccanico

M = 8 × 10 (

⁻¹²

Nm ) ^u

^x

, determinare:

2) l’angolo formato fra
m e

B θ

R ₁ R ₂ i

i

x y

z y

2d m

P

1) Il campo magnetico generato nel punto P è al sovrapposizione dei campi magnetici generati da ciascuna spira in quel punto

B

₁

= − µ

⁰

i 2

R

₁²

d

²

+ R

₁²

( )

³²

^u

^z

B

₂

= µ

⁰

i 2

R

₂²

d

²

+ R

₂²

( )

³²

^u

^z

⎧

⎨

⎪ ⎪⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⇒

B

_P

=
B

₂

+

B

₁

= µ

⁰

i 2

R

₂²

d

²

+ R

₂²

( )

³²

^u

^z

^{− µ}

⁰

i 2

R

₁²

d

²

+ R

₁²

( )

³²

^u

^z

ovvero

B

_P

= µ

0

i 2

R

₂²

d

²

+ R

₂²

( )

³²

⁻

R

₁²

d

²

+ R

₁²

( )

³²

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

u

_z

= −1.3 × 10 (

⁻⁵

T ) ^u

^z

2) L’energia del dipolo è

U

^m

= −
mi

B

_P

= −mB

_P

cosθ e il momento meccanico subito dal dipolo è

M = m
×

B

_P

= mB

_P

senθ per cui

M

U

_m

= − tan θ ⇒ θ = tan

⁻¹

− M U

_m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 14.9°