θ P III appello di Fisica Generale 1 – 6 Settembre 2018 Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 III appello di Fisica Generale 1 – 6 Settembre 2018

Cognome ________________________ Nome ________________________ Matricola ____________

Problema 1

Un rocchetto (massa m = 3kg, raggio esterno R = 10cm e momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione passante per il centro di massa IG = 0.0124 kgm²) è appoggiato su un piano scabro inclinato con l'orizzontale di θ= 30˚. Il centro di massa del rocchetto è collegato, tramite un opportuno sistema di vincoli a due molle ideali di massa nulla e costante elastica rispettivamente k1 = 74N/m e k2 = 117N/m fissate all’altro estremo a pareti a distanza fra loro pari alla somma delle lunghezze a riposo delle molle. All'istante t = 0 il sistema è

lasciato libero di muoversi dalla posizione in cui le due molle hanno deformazione nulla. Determinare:

1) l'accelerazione angolare iniziale del rocchetto α

2) il modulo iniziale della forza di reazione vincolare sul piano Φ 3) la deformazione delle molle nella posizione di equilibrio del sistema ∆x

4) la velocità del rocchetto in tale posizione v

Problema 2

Un razzo viene lanciato verticalmente da Terra (MT = 5.97 × 10²⁴kg e RT =6300km), dovendo posizionare un satellite di massa m = 500kg nell’orbita ad altezza h = 16400km dalla superficie terrestre.

Assumiamo che il tempo di accelerazione sia trascurabile, per cui il razzo assume la velocità massima v0 = 35000 km/h praticamente sulla superficie terrestre, e che, una volta raggiunta la posizione dell’orbita, il razzo espella istantaneamente il satellite. Trascurando gli effetti della rotazione terrestre e utilizzando la costante di gravitazione universale G = 6.67 × 10^{−11m-3 kg-1 s-2}, calcolare:

1) la velocità con cui il razzo raggiunge la posizione dell’orbita v_r 2) modulo e direzione, rispetto alla velocità del razzo,

dell’impulso fornito al satellite dal razzo i, θ

Problema 3

Una macchina termica esegue, utilizzando n = 3 moli di gas perfetto monoatomico il seguente ciclo termodinamico di rendimento η = 0.1:

AB espansione isobara irreversibile dallo stato TA = 200K e VA = 50 litri in costante contatto termico con un serbatoio di calore a temperatura TB = 350K

BC espansione adiabatica reversibile fino a TC = 300K

CD compressione isobara reversibile fino alla temperatura TD = TA

DA compressione isoterma irreversibile fino allo stato iniziale.

Determinare:

1) il calore scambiato nella trasformazione isoterma QDA

2) il volume del gas negli stati B, C e D VB, VC, VD

3) la variazione di entropia dell'universo nel ciclo ∆Su

4) il massimo rendimento ottenibile da una macchina termica che operi utilizzando i serbatoi di calore a disposizione

(si giustifichi la risposta) ηmax

θ G

P k₁

k₂

III appello di Fisica Generale 1 – 6 Settembre 2018

Problema 1

Un rocchetto (massa m = 3kg, raggio esterno R = 10cm e momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione passante per il centro di massa IG = 0.0124 kgm²) è appoggiato su un piano scabro inclinato con l'orizzontale di θ= 30˚. Il centro di massa del rocchetto è collegato, tramite un opportuno sistema di vincoli a due molle ideali di massa nulla e costante elastica rispettivamente k1 = 74N/m e k2 = 117N/m fissate all’altro estremo a pareti a distanza fra loro pari alla somma delle lunghezze a riposo delle molle.

All'istante t = 0 il sistema è lasciato libero di muoversi dalla posizione in cui le due molle hanno deformazione nulla. Determinare:

1) l'accelerazione angolare iniziale del rocchetto α

2) il modulo iniziale della forza di reazione vincolare sul piano Φ 3) la deformazione delle molle nella posizione di equilibrio del sistema ∆x

4) la velocità del rocchetto in tale posizione v

θ

G

P k₁

k₂

Soluzione

1) II equazione cardinale rispetto al punto di contatto mgR senθ = I_Pα = I

(

)

α = mgR senθ

I_G+ mR² == 34.7rad/s² 2) I equazione cardinale

F_s− mg senθ = ma_G= mαR N− mg cosθ = 0

⎧⎨

⎩

F_s = mg senθ + mαR = 25.1N N= mg cosθ = 25.5N

⎧⎨

⎩

Φ = N²+ F_s² = 35.8N 3) Condizione di equilibrio

k₁∆x+ k₂∆x− mg senθ= 0

∆x=mg senθ

k₁+ k₂ = 7.7cm 4) Conservazione dell’energia fra le due posizioni

mg∆x senθ =1

2

(

)

⁽

⁾

ω = 2mg∆x senθ − k

(

)

I_G+ mR² = 5.17rad/s v=ωR = 0.52 m/s

Problema 2

Un razzo viene lanciato verticalmente da Terra (M_T = 5.97 × 10²⁴kg e R_T =6300km), dovendo posizionare un satellite di massa m = 500kg nell’orbita ad altezza h = 16400km dalla superficie terrestre.

Assumiamo che il tempo di accelerazione sia trascurabile, per cui il razzo assume la velocità massima v₀ = 35000 km/h praticamente sulla superficie terrestre, e che, una volta raggiunta la posizione dell’orbita, il razzo espella istantaneamente il satellite. Trascurando gli effetti della rotazione terrestre e utilizzando la costante di gravitazione universale G = 6.67 × 10^{−11m-3 kg-1 s-2}, calcolare:

1) la velocità con cui il razzo raggiunge la posizione dell’orbita vr

2) modulo e direzione, rispetto alla velocità del razzo,

dell’impulso fornito al satellite dal razzo i, θ

Soluzione

1) Conservazione dell’energia

1

2m_rv₀²− G m_rM_T R_T = 1

2m_rv_r²− G m_rM_T R_T + h v_r = v₀²− 2G M_Th

R_T

(

)

2) Il satellite, prima del rilascio, ha velocità vr radiale, ma per restare in orbita deve avere una velocità tangenziale che soddisfi all’equazione

G mM_T R_T + h

( )

2

R_T + h ⇒ v = G M_T

R_T + h = 4188 m/s

Questa componente della velocità deve essere impartita dal razzo che deve anche annullare la velocità radiale, per cui le quantità di moto del satellite prima e dopo il rilascio sono

p_i = mv_ru
_r

p_f = mv
u_t

⎧⎨

⎩⎪

e l’impulso impartito dal razzo è quindi

i
=
p_f −
p_i= mv
u_t− mv_ru
_r con modulo e direzione rispetto a

u_r

i= m v²+ v_r² = 2.28 × 10⁶Ns θ = π

2+ tan⁻¹ v v_r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= 157°

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

III appello di Fisica Generale 1 – 6 Settembre 2018

Problema 3

Una macchina termica esegue, utilizzando n = 3 moli di gas perfetto monoatomico il seguente ciclo termodinamico di rendimento η = 0.1:

AB espansione isobara irreversibile dallo stato TA = 200K e VA = 50 litri in costante contatto termico con un serbatoio di calore a temperatura TB = 350K

BC espansione adiabatica reversibile fino a TC = 300K

CD compressione isobara reversibile fino alla temperatura T_D = T_A DA compressione isoterma irreversibile fino allo stato iniziale.

Determinare:

1) il calore scambiato nella trasformazione isoterma QDA

2) il volume del gas negli stati B, C e D VB, VC, VD

3) la variazione di entropia dell'universo nel ciclo ∆Su

4) il massimo rendimento ottenibile da una macchina termica che operi utilizzando i serbatoi di calore a disposizione

(si giustifichi la risposta) ηmax

A B

C V p

D

Soluzione

1) Il calore scmabiato nelle trasformazioni è

Q_AB = ncp

(

)

Q_CD= ncp

(

)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Data la definizione di rendimento η = 1+Q_c

Q_a = 1+Q_CD+ Q_DA Q_AB da cui

Q_DA=(η − 1)^QAB− Q_CD = −2182 J 2) Utilizzando le equazioni delle trasformazioni

AB: isobara ⇒ V_A

T_A =V_B

T_B ⇒ V_B =T_B

T_AV_A = 87.5 litri

BC: adiabatica reversibile ⇒ T_BV_B^{γ −1}= T_CV_C^{γ −1} ⇒ V_C = T_B T_C

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

γ −1V_B = 110.3 litri

CD: isobara ⇒ V_C

T_C =V_D

T_D ⇒ V_D=T_D

T_CV_C = 73.5 litri

3) La variazioni del entropia dell;universo nel ciclo è pari alla somma della variazione di entripia dell’universo per tutte le trasformazioni irreversibili

∆S_u =∆S_u^IRR =∆S_u^AB+∆S_u^DA = −Q_AB

T_B + nc_plnT_B T_A −Q_DA

T_A + nR lnV_A

V_D = 9.48J/K

B C A

4) Le sorgenti disponibili al sistema hanno tutte le temperature comprese fra TA e TB, ma il teorema di Carnot comporta che il maggior rendimento possible è quello di una maccchina di Carnot fra le temperature estreme, per cui

η_max= 1−T_A

T_B = 0.429