x + 1 = x + 1 ≥ 1 ∣ ∣

ESERCIZI DEL CAPITOLO 10 VOLUME 1 pagine 714 -717

a. FALSO. Controesempio: ∣−10∣=∣10∣

b. VERO. Ovvio.

c. FALSO. Controesempio: ∣−10∣=∣10∣ d. VERO. Per definizione di valore assoluto.

a. VERO. ∣x+3∣≥0 Per ogni valore di x, dunque non può essere minore di un numero negativo.

b. FALSO. Non è verificata nel caso x=2.

c. VERO. ∣x²+1∣=x²+1≥1 . In particolare l'uguaglianza vale per x=0 mentre per tutti gli altri valori vale la disuguaglianza stretta.

d. VERO. La disuguaglianza è falsa per ogni valore di x a causa della definizione di valore assoluto.

L'uguaglianza vale nei casi x=2∨x=−2

3a. FALSO. Controesempio: con x=-1 abbiamo ∣−1+1∣=∣−1∣+1 ovvero 0=2, assurdo.

3b. VERO. Ovvio.

3c. VERO. Si noti che x+ y−3=−(3−x− y)

3d. FALSO (in generale). L'uguaglianza potrebbe essere vera soltanto nel caso a=−b . Altrimenti avremmo un'uguaglianza tra un numero positivo e uno negativo.

4a. VERO. Basta applicare la proprietà distributiva. ∣2 x−4∣=∣2 (x−2)∣=∣2∣∣x−2∣=2∣x−2∣

4b. VERO. Si applica di nuovo la proprietà distributiva, questa volta stando attenti ai segni.

∣−3 a−6 b∣=∣−3(a+2 b)∣=∣−3∣∣a+2 b∣=3∣a+2 b∣

4c. VERO. Nel caso x=0 avremmo 0+1>0 vera. Nel caso x=-1 avremmo 1+0>0 vera.

In tutti gli altri casi avremmo comunque la somma di due numeri positivi maggiore di 0.

4d. FALSO. Per x=1 abbiamo 0+1>0 vera, per x= 2 abbiamo 1+0>0 vera. Quindi anche 1 e 2 fanno parte delle soluzioni (che poi tutto l'insieme dei reali).

5a. VERO. Applico lo sviluppo del quadrato del binomio. Teniamo presente che ∣x∣²=x² . 5b. VERO. Applico la proprietà distributiva. 3∣x∣+4∣x∣=(3+4)∣x∣=7∣x∣

5c. VERO. Semplicemente perché, come già detto sopra, ∣x∣²=x² 5d. VERO. ∣2 x−3∣+∣2 x−3∣=2∣2 x−3∣=∣4 x−6∣ .

6

∣2 x−8∣=0 Il valore assoluto interviene sul segno, ed è nullo quando l'argomento è nullo. Dunque dobbiamo semplicemente risolvere 2 x−8=0 ovvero 2 x=8 ovvero x=4

∣3 x+4∣=−1 . Per qualunque valore di x il membro a sinistra sarà positivo o nullo, quindi mai un numero negativo. L'equazione è impossibile.

∣x+x³∣+3=0 . Idem come sopra. Per qualunque valore di x a sinistra avremo un numero maggiore o uguale a 3, quindi non potrà in nessun caso essere nullo. L'equazione è impossibile.

7

∣x²−x∣=0 Il valore assoluto interviene sul segno, ed è nullo quando l'argomento è nullo. Dunque dobbiamo semplicemente risolvere x²−x=0 ovvero x (x−1)=0 ovvero x=0∨x=1 .

∣2 x∣=6 . Possiamo intuitivamente determinare subito le due soluzioni, ovvero x=3∨x =−3 . Se a qualcuno non piace affidarsi troppo all'intuizione può fare due passaggi formali, suddividendo in tre casi.

Caso x>0. L'equazione è equivalente a 2 x=6 ovvero x=3 , accettabile.

Caso x<0. L'equazione è equivalente a −2 x=6 ovvero x=−3 , accettabile.

Caso x=0. Ovviamente tale valore non è soluzione dell'equazione.

∣x−2∣=1 . Possiamo intuire immediatamente le due soluzioni: x=3∨x =1 .

Se però preferite perderci più tempo possiamo svolgere la consueta distinzione in casi, a seconda che l'argomento del valore assoluto sia positivo, negativo o nullo.

Caso x>2. L'equazione è equivalente a x−2=1 ovvero x=3 , accettabile.

Caso x<2. L'equazione è equivalente a −x+2=1 ovvero x=1 , accettabile.

Caso x=2. Ovviamente tale valore non è soluzione dell'equazione.

8

∣5−x∣≤0 . Per definizione di valore assoluto possiamo disinteressarci della disuguaglianza: non potrà essere in nessun caso negativo. Dunque resta da trovare una soluzione per l'uguaglianza, in pratica dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione ∣5−x∣=0 o ancora meglio, dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione 5−x=0 ovvero x=5 .

∣3−x∣<0 . In questo caso non è richiesta l'uguaglianza, ma soltanto la disuguaglianza. Per definizione di valore assoluto possiamo dire immediatamente che tale disequazione è impossibile.

∣x³+π∣+π³>0 . Il “pi greco” è stato inserito solo per gettare fumo negli occhi. Si tratta di un numero irrazionale, ma in questo momento ci interessa sapere soltanto che è positivo. Qualunque valore possa sostituire alla x , dal valore assoluto otterrò un numero positivo o nullo, che poi aggiunto ad un numero positivo darà un risultato in ogni caso positivo. Dunque tutti i valori reali sono soluzioni di questa disequazione.

9

∣x−1∣>0 Per definizione di valore assoluto, l'unico caso in cui non è vera la disuguaglianza è quando l'argomento del valore assoluto è nullo, cioè nel caso x=1. Per tutti gli altri valori di x la disuguaglianza è verificata.

∣x²−1∣>0 Come sopra, dobbiamo preoccuparci soltanto del caso in cui l'argomento del valore assoluto sia nullo, o meglio “dei casi...” perché l'equazione x²−1=0 ha due soluzioni:

x=1∨x=−1 . Escludiamo questi due valori, per tutti gli altri la disuguaglianza è verificata.

∣1−x²∣≤0 . Non so se sia necessario ripetere per l'ennesima volta che per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta non può essere vera in nessun caso. Può essere vera l'uguaglianza ed in effetti l'equazione 1−x²=0 è verificata per x=1∨x=−1 . Questi due valori sono dunque le soluzioni richieste.

10 (prima)

∣2 x−5∣−3=0 . Sempre più difficile! Finalmente di ovvio non c'è niente, dobbiamo rimboccarci le maniche e lavorare sull'equazione dividendo in più casi. Dobbiamo cioè distinguere la situazione in cui l'argomento del valore assoluto è positivo, da quella in cui è negativo.

Caso 2 x−5≥0 ovvero x≥5 2 .

In questo caso l'equazione da risolvere è equivalente a 2 x−5−3=0 ovvero 2 x=8 ovvero x=4 , accettabile.

Caso 2 x−5<0 ovvero x<5 2 .

In questo caso l'equazione da risolvere è equivalente a −2 x+5−3=0 ovvero −2 x=−2 ovvero x=1 , accettabile.

Ricapitolando le soluzioni richieste sono x=4∨x=1

10 (seconda)

∣x−4∣=∣3 x−1∣

Ci troviamo di fronte ad un'uguaglianza tra valori assoluti, la suddivisione in casi si fa più complicata. Per quanto riguarda il primo membro devo considerare separatamente i casi x≥4∨x<4 mentre per quanto riguarda il secondo membro devo considerare separatamente i casi x≥1

3∨x<1

3 . Facciamo scorrere il valore della x sulla retta reale in ordine crescente. Mi sembra superfluo ricordare che 1

3<4 . Caso x<1

3

L'equazione da risolvere è equivalente a −x+4=−3 x+1 ovvero 3 x−x=1−4 ovvero 2 x=−3 ovvero x=−3

2 che è accettabile dato che −3 2<1

3 . Caso 1

3≤x<4

L'equazione da risolvere è equivalente a −x+4=3 x−1 ovvero −x−3 x=−1−4 ovvero

−4 x=−5 ovvero x=5

4 che è accettabile dato che 1 3<5

4<4 Formalmente resta da esaminare il caso x≥4 .

L'equazione da risolvere è equivalente a x−4=3 x−1 che, notate bene, è equivalente a quella già risolta nel primo caso. Se ci accorgiamo di questo possiamo fermarci qui e dare le soluzioni, ma anche se non ce ne accorgessimo, risolvendo x−3 x=−1+4 ovvero −2 x=3 ovvero

x=−3

2 , cioè lo stesso valore già trovato e accettato prima. Formalmente in questo caso non possiamo accettarlo, ma ormai la questione è del tutto irrilevante.

Ricapitolando, le soluzioni dell'equazione sono x=−3

2∨x=5 4 . 10 (terza)

∣x³+x∣>0

La disuguaglianza è vera per quei valori di x per cui l'argomento è diverso da zero. Dunque risolvendo l'equazione x³+x=0 troveremo quei valori di x che non sono soluzioni della disequazione, ovvero sono i valori che dobbiamo buttare via. Tale equazione è equivalente a x (x²+1)=0 che ha come unica soluzione x=0 . Concludendo le soluzioni richieste sono tutti quei valori x≠0

11 (prima)

∣x+2∣+2>0 Per definizione di valore assoluto a sinistra vediamo una somma di numeri positivi che risulterà positiva per qualunque valore di x. Dunque le soluzioni sono tutti i possibili valoi di x.

11 (seconda)

∣2 x−3∣+4<0 . Qualunque sia il valore di x a sinistra ci sarà un numero positivo, dunque la disuguaglianza non è verificata per alcun valore di x, si tratta di una disequazione impossibile.

11 (terza)

∣x³+x∣>−2 . A sinistra della disuguaglianza troviamo un numero che, per definizione di valore assoluto, sarà positivo o nullo. In ogni caso maggiore di qualunque valore negativo, dunque le soluzioni della disequazione sono tutti i valori reali.

12 (prima)

∣x−1∣<−1 . A sinistra della disuguaglianza troviamo un numero che, per definizione di valore assoluto, sarà positivo o nullo. In ogni caso maggiore di qualunque valore negativo, dunque non esistono soluzioni per questa disequazione, si tratta di una disequazione impossibile.

12 (seconda)

∣x²−3 x∣≤0 . Per definizione di valore assoluto, la disuguaglianza stretta non è verificata in alcun caso. Cerchiamo allora soltanto i valori che rendono vera l'uguaglianza: ∣x²−3 x∣=0 . Possiamo disinteressarci del valore assoluto e fattorizzare x (x−3)=0 . Le soluzioni di quest'ultima equazione, ma anche della disequazione da cui siamo partiti, sono x=0∨x=3

12 (terza)

∣2+7 x∣≥0 . Per definizione di valore assoluto, qualunque valore sostituito alla x rende vera la disuguaglianza.

13 (prima)

∣x²+3 x−4∣≤0 . Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta non è mai verificata.

Cerchiamo i valori per cui vale l'uguaglianza, ovvero quei valori che annullano l'argomento del valore assoluto. Occorre semplicemente risolvere l'equazione x²+3 x−4=0 che si può fattorizzare (osservando i coefficienti) (x−1)(x +4)=0 da cui le soluzioni x=−4∨x=1 . 13 (seconda)

∣x²+2 x−15∣>0 . Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x²+2 x−15=0 . Il polinomio di secondo grado si può fattorizzare osservando i coefficienti (x−3)( x+5)=0 . Tale equazione ha come soluzioni x=3∨x =−5 . Di conseguenza le soluzioni richieste sono tutti quei valori tali che x≠3∧x≠−5

13 (terza)

∣x⁴+3 x²−4∣≥0 . Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza è verificata per tutti i possibili valori di x.

14 (prima)

∣x⁵+4 x∣>0 . Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x⁵+4 x=0 ovvero x (x⁴+4)=0 che ha un'unica soluzione x=0 . Dunque le soluzioni richieste sono tutti quei valori x≠0

14 (seconda)

∣x⁴−8 x²−9∣>0 . Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x⁴−8 x²−9=0 ovvero (x²+1)(x²−9)=0 che ha come soluzioni x=3∨x =−3 . Dunque le soluzioni della disequazione sono tutti quei valori tali che x≠3∧x≠−3

15 (prima)

∣2 x−3∣−∣3 x−4∣=0

Occorre spezzare il nostro studio in diversi casi, per quanto riguarda il primo valore assoluto dovremmo distinguere il caso x≥3

2 dal caso x<3

2 mentre per quanto riguarda il secondo valore assoluto dovremmo distinguere il caso x≥4

3 dal caso x<4 3 . Spero che non ci sia bisogno di sottolineare il fatto che 4

3<3

2 . Dunque percorriamo la retta dei reali considerandola divisa in tre zone: x<4

3 ; 4

3≤x<3

2 ; x≥3

2 . Per ciascuna di queste zone potrò studiare l'equazione applicando il valore assoluto al suo argomento.

Caso x<4

3 . Entrambi gli argomenti sono negativi, dunque l'equazione diventa

−2 x+3−(−3 x+4)=0 che risolviamo molto facilmente

−2 x+3+3 x−4=0

x=1 . La soluzione trovata è coerente col caso che stiamo esaminando e quindi è accettabile.

Caso 4

3≤x<3

2 . Il primo argomento è positivo, il secondo argomento è negativo, dunque l'equazione diventa 2 x−3−(−3 x +4)=0 che risolviamo facilmente

2 x−3+3 x−4=0 5 x=7

x=7

5 . La soluzione trovata è coerente col caso che stiamo esaminando e quindi è accettabile.

Caso x≥3

2 . Entrambi gli argomenti sono positivi, dunque l'equazione diventa

2 x−3−(3 x−4)=0 ovvero 2 x−3−3 x+4=0 che è del tutto equivalente a quella del primo caso che aveva soluzione x=1 . In questo terzo caso tale soluzione non è accettabile, dunque in questa zona non troviamo soluzioni.

Concludendo, le soluzioni richieste sono x=1∨x=7 5

15 (seconda)

∣x²−1∣=∣x²−7∣

Notiamo subito una cosa: se i due argomenti hanno lo stesso segno l'equazione è impossibile. Sia con gli argomenti entrambi positivi che con quelli entrambi negativi otterremmo l'equazione

x²−1=x²−7 ovvero −1=−7 falso per qualunque valore di x.

Dunque non resta che studiare il caso in cui gli argomenti siano discordi, ovvero il caso in cui abbiamo 1<x²<7 . Possiamo risparmiarci la fatica di tradurlo in una condizione sulla x di primo grado e risolvere subito l'equazione x²−1=−x²+7 ovvero 2 x²=8 ovvero x²=4 ovvero x=2∨x=−2 . Entrambe queste soluzioni sono coerenti con il caso in esame e quindi sono accettabili.

Concludendo: le soluzioni richieste sono x=2∨x=−2 15 (terza)

2∣x∣=3+∣x∣

In questa situazione possiamo tranquillamente applicare subito il primo principio di equivalenza 2∣x∣−∣x∣=3 e arrivare a scrivere ∣x∣=3 .

Banalmente le soluzioni richieste sono x=3∨x =−3 16 (prima)

(∣x∣+1)²=x²−6 .

Sviluppiamo subito il quadrato del binomio x²+2∣x∣+1= x²−6 . In questo modo ci liberiamo subito delle incognite di secondo grado +2∣x∣+1=−6 e già a questo punto ci rendiamo conto che l'equazione è impossibile, visto che nessun valore di x può rendere negativo il primo membro.

16 (seconda) (∣x∣−3)²=x²+1

Sviluppiamo subito il quadrato del binomio x²−6∣x∣+9= x²+1 ed eliminiamo i termini di secondo grado: −6∣x∣+9=1 . Poi risolviamo rispetto al valore assoluto di x. −6∣x∣=−8 Ovvero ∣x∣=4

3 . Dunque le soluzioni richieste sono x=−4

3∨x=4 3 16 (terza)

(∣x∣−2)²>5+ x²

Sviluppiamo subito il quadrato del binomio (∣x∣−2)²>5+ x² ed eliminiamo i termini di secondo grado: −4∣x∣+4>5 . Ci rendiamo presto conto che la disequazione è impossibile −4∣x∣>1 . Qualunque sia il valore di x il primo membro è negativo e meno che mai potrà essere maggiore di 1.

19

∣x−1∣+∣x−3∣≤0

Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. Resta da chiarire se esistono valori di x per cui è vera l'uguaglianza.

∣x−1∣+∣x−3∣=0

Essendo una somma di due addendi positivi l'unica possibilità e che siano entrambi nulli, ma anche questo non accade, o si annulla il primo valore assoluto con x=1 o si annulla il secondo con x=3.

Per nessun valore di x possono essere entrambi nulli.

Conclusione: la disequazione è impossibile.

20 (prima)

∣x−2∣+∣x−3∣<0

Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. La disequazione è impossibile.

20 (seconda)

∣x−2∣<−2∣x∣

Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. Altrettanto ovviamente il secondo membro è negativo o nullo, qualsiasi sia il valore di x.

Conclusione: la disequazione è impossibile.

20 (terza)

∣x∣+∣x³+x⁷∣=0

L'equazione è banalmente verificata per x=0.

Altrettanto banalmente osserviamo che non può essere verificata per altri valori: a primo membro avrei sempre una somma di addendi positivi.

Conclusione: l'unica soluzione è x=0.

21 (prima)

3+∣_x∣+∣x²−1∣>0

Qualunque sia il valore di x, l'espressione ci restituisce la somma di 3 e un almeno valore positivo (più spesso due valori positivi). Dunque qualunque x reale è soluzione della disequazione.

21 (seconda)

∣x−3∣+∣x∣≥0

Qualunque sia il valore di x, l'espressione ci restituisce una somma tra due valori quasi sempre positivi, in due casi almeno uno dei due positivo e l'altro nullo. Dunque la disuguaglianza è verificata per qualunque valore di x.

21 (terza)

∣x²−x∣+∣_x∣_>0

Nel caso x=0 la disuguaglianza non è verificata perché otterremmo 0>0 .

In tutti gli altri casi l'espressione a sinistra ci restituisce un valore positivo, dunque le soluzioni di questa equazione sono tutte quelle x≠0 .

22 (prima)

∣x²−9∣+∣x−3∣≤0

Essendo una somma di due valori assoluti la disuguaglianza stretta minore di zero non potrà valere in nessun caso. Non resta che cercare i valori per cui è verificata l'uguaglianza, in pratica ci troviamo a risolvere un'equazione: ∣x²−9∣+∣_x−3∣₌₀ .

Per lo stesso motivo (si tratta di una somma di valori assoluti), l'unico modo per verificare l'uguaglianza è che entrambi gli argomenti siano nulli: facilmente si osserva che il secondo si annulla solo per x=3 ; altrettanto facilmente osserviamo che anche il primo argomento si annulla per x=3 . Ricapitolando, la soluzione richiesta è x=3 .

22 (seconda)

∣2 x−3∣+∣x²−9∣>0

Si tratta di una somma di due valori assoluti, dunque la disuguaglianza è quasi sempre verificata.

L'unico caso in cui potrebbe non essere verificata è quello in cui entrambi gli argomenti sono nulli.

Vediamo se esiste qualche valore di x per cui questo avviene, se lo troviamo lo escluderemo dall'insieme delle soluzioni.

Si osserva piuttosto facilmente che il primo argomento si annulla soltanto per x=3 2 .

Tale valore però non annulla il secondo argomento, dunque la situazione in cui entrambi gli argomenti si annullano non si verifica mai.

Ricapitolando, le soluzioni richieste sono tutti i possibili valori reali.

38 (prima)

∣2 x−1∣=5+x

Occorre distinguere due casi, il caso in cui l'argomento del valore assoluto sia positivo, e quello in cui sia negativo. Il caso particolare dell'argomento nullo lo trattiamo, per prassi, insieme al primo caso.

Caso 2 x−1≥0 ovvero x≥1 2 .

Per questi valori di x (e soltanto per questi), l'equazione di partenza è equivalente a 2 x−1=5+ x

che sappiamo risolvere facilmente: 2 x−x=5+1 ovvero x=6 . Tale soluzione rientra nel dominio che ci siamo imposti e quindi è accettabile.

Caso 2 x−1<0 ovvero x<1 2 .

Per questi valori di x (e soltanto per questi), l'equazione di partenza è equivalente a −2 x+1=5+x

che sappiamo risolvere facilmente: −2 x−x=5−1 ovvero −3 x =4 ovvero x=−4

3 . Tale soluzione rientra nel dominio che ci siamo imposti e quindi è accettabile.

Ricapitolando abbiamo determinato due soluzioni: x=6∨x=−4 3

38 (seconda)

2+∣4 x+3∣=x

Occorre distinguere due casi.

Caso 4 x+3≥0 ovvero x≥−3 4 .

L'equazione diventa 2+4 x+3= x ovvero 4 x−x=−2−3 ovvero 3 x=−5 ovvero x=−5

3 . Tale soluzione non è accettabile perché −5 3<−3

4 . Caso 4 x+3<0 ovvero x<−3

4 .

L'equazione diventa 2−4 x−3= x ovvero −4 x+ x=−2−3 ovvero −3 x =−5 ovvero x=5

3 . Tale soluzione non è accettabile perché 5 3>−3

4 .

Ricapitolando, non abbiamo trovato soluzioni accettabili, dunque l'equazione è impossibile.

38 (terza)

∣x−1∣

x =3

Dobbiamo porre una condizione di esistenza per non incorrere in divisioni per zero. La condizione di esistenza da porre è x≠0 .

Detto questo, distinguiamo due casi.

Caso x−1≥0 , ovvero x≥1 . L'equazione diventa x−1

x =3 ovvero x−1=3 x ovvero x−3 x=1 ovvero −2 x=1 ovvero x=−1

2 . Tale soluzione non è accettabile perché −1 2<1 . Caso x−1<0 , ovvero x<1 .

L'equazione diventa −x+1

x =3 ovvero −x+1=3 x ovvero −x−3 x=−1 ovvero

−4 x=−1 ovvero x=1

4 . Tale soluzione è accettabile, perché rientra nelle condizioni di

39 (prima) 1−∣x+5∣=2 x

Distinguiamo due casi.

Caso x+5≥0 ovvero x≥−5 .

L'equazione diventa 1−(x+5)=2 x ovvero 1−x−5=2 x ovvero −x−2 x=−1+5 ovvero

−3 x =4 ovvero x=−4

3 . Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci siamo imposti.

Caso x+5<0 ovvero x<−5 .

L'equazione diventa 1−(−x−5)=2 x ovvero 1+x +5=2 x ovvero x−2 x=−1−5 ovvero

−x=−6 ovvero x=6 . Tale soluzione non è accettabile perché 6>−5 . Ricapitolando, la soluzione richiesta è x=−4

3 39 (seconda)

∣x−3∣+x=3

Con un po' di spirito di osservazione si potrebbe subito notare che l'equazione è equivalente a quest'altra: ∣x−3∣=3−x . Dunque le soluzioni richieste sono tutti quei valori dell'incognita per cui l'argomento del valore assoluto è negativo o anche nullo, ovvero x≤3 .

Se però non abbiamo questo spirito di osservazione possiamo sempre risolvere l'equazione come abbiamo fatto negli esercizi precedenti, distinguendo i due casi.

Caso x−3≥0 ovvero x≥3 .

L'equazione diventa x−3+x=3 ovvero 2 x=6 ovvero x=3 . Tale soluzione è accettabile, perché soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso x−3<0 ovvero x<3 .

L'equazione diventa −x+3+ x=3 ovvero 3=3 che è vera qualunque sia il valore di x. In questo caso l'equazione è indeterminata, ma sono ovviamente accettabili solo le soluzioni x<3 . Ricapitolando sono soluzioni dell'equazione tutti quei valori x≤3 .

39 (terza)

3

∣5 x+3∣⁼ 2 x+1

Poniamo le condizioni di esistenza.

Per quanto riguarda il primo denominatore deve essere 5 x+3≠0 ovvero x≠−3 5 . Per quanto riguarda il secondo denominatore deve essere x+1≠0 ovvero x≠−1 . Passiamo ora a distinguere i due casi.

Caso 5 x+3>0 ovvero x>−3 5 L'equazione diventa: 3

5 x+3= 2

x+1 ovvero 3(x +1)=2(5 x+3) ovvero 3 x+3=10 x+6 ovvero 3 x−10 x=6−3 ovvero −7 x=3 ovvero x=−3

7 . Tale soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza e quelle che ci siamo posti.

Caso 5 x+3<0 ovvero x<−3 5 L'equazione diventa 3

−(5 x+3)= 2

x+1 ovvero −3(x+1)=2 (5 x+3)

ovvero −3 x−3=10 x +6 ovvero −3 x−10 x=6+3 ovvero −13 x=9 ovvero x=− 9 13 Tale soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza e le condizioni che ci siamo posti.

40 (prima)

∣x−2∣

x = x

1+∣x−2∣

Poniamo le condizioni di esistenza.

Per quanto riguarda il primo denominatore poniamo x≠0 .

Per quanto riguarda il secondo denominatore non occorre porre condizioni, perché il denominatore è strettamente positivo per qualunque valore di x.

Si noti che anche se compaiono due valori assoluti, l'argomento è sempre lo stesso, dunque ci basta distinguere due casi.

Caso x−2≥0 ovvero x≥2 . L'equazione diventa x−2

x = x

1+ x−2 ovvero x−2 x = x

x−1 ovvero (x−2)(x−1)=x²

accettabile perché 2 3<2 . Caso x−2<0 ovvero x<2 . L'equazione diventa −x+2

x = x

1−x +2 ovvero −x+2

x = x

3−x ovvero (2−x )(3−x )=x² ovvero 6−2 x−3 x+ x²=x² ovvero 6−5 x =0 ovvero x=6

5 . Tale soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza e le condizioni che ci siamo posti.

Ricapitolando, abbiamo determinato una soluzione x=6 5 . 40 (seconda)

(1+∣x∣)²+x−3=x² Distinguiamo i due casi.

Caso x≥0 .

L'equazione diventa (1+ x)²+x−3= x² ovvero 1+2 x+x²+x−3= x² ovvero 3 x−2=0 ovvero x=2

3 . Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso x<0 .

L'equazione diventa (1−x)²+x−3=x² ovvero 1−2 x+x²+x−3=x² ovvero −x−2=0 ovvero x=−2 . Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Ricapitolando, abbiamo determinato due soluzioni: x=2

3∨x=−2 40 (terza)

∣x−2+∣x−3∣∣=1

Ci troviamo ad affrontare un valore assoluto contenuto in un altro. A mio modesto parere la strategia migliore è partire da quello più interno.

Caso x−3≥0 ovvero x≥3 .

L'equazione diventa ∣x−2+x−3∣=1 ovvero ∣2 x−5∣=1 . Si osservi che x≥3>5

2 , per cui possiamo togliere anche il valore assoluto più esterno, e l'equazione diventa 2 x−5=1 ovvero

2 x=6 ovvero x=3 che è accettabile.

Caso x−3<0 ovvero x<3 .

L'equazione diventa ∣x−2−x+3∣=1 ovvero ∣1∣=1 che è verificata qualunque sia il valore di

x. Perciò tutti i valori presi in considerazione per questo caso, cioè le x<3 , sono soluzioni dell'equazione.

Ricapitolando, abbiamo determinato le soluzioni x≤3 . 41 (prima)

∣x−2∣+∣x−4∣=2 x−6

Dobbiamo prendere in considerazione due valori assoluti, mettiamoci nella condizione in cui entrambi gli argomenti siano positivi.

Il primo argomento deve essere x−2≥0 ovvero x≥2 . Il secondo argomento deve essere x−4≥0 ovvero x≥4 .

Dunque se consideriamo le x≥4 entrambi gli argomenti sono positivi (oppure nullo il secondo) e l'equazione diventa x−2+ x−4=2 x−6 ovvero 2 x−6=2 x−6 che è verificata per qualunque valore di x. Quindi tutti i valori x≥4 sono soluzioni accettabili.

Caso x≥4 . Soluzioni x≥4 come appena visto.

Caso 2≤x<4 . Il primo argomento è ancora positivo o nullo, mentre il secondo è negativo, dunque l'equazione diventa x−2−x+4=2 x−6 ovvero 2=2 x−6 ovvero 2 x=8 ovvero x=4 che non è accettabile (o meglio, l'abbiamo già accettata al caso precedente). Non ci sono soluzioni in questo caso.

Caso x<2 . Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa

−x+2−x+4=2 x−6 ovvero −2 x+6=2 x−6 ovvero 4 x=12 ovvero x=3 che non è accettabile. Non ci sono soluzioni in questo caso.

Ricapitolando, le soluzioni richieste sono le x≥4 . 41 (seconda)

∣x+2−∣x∣∣=3 .

Consideriamo prima il valore assoluto più interno.

Caso x≥0 .

L'equazione diventa ∣x+2−x∣=3 ovvero 2=3 che nonè verificata qualunque sia il valore di x.

Non ci sono soluzioni in questo caso.

Caso x<0

L'equazione diventa ∣x+2+x∣=3 ovvero ∣2 x+2∣=3 ovvero 2∣x+1∣=3 Sottocaso −1≤x<0 , ovvero con argomento x+1≥0 .

accettabile.

Sottocaso x<−1 , ovvero con argomento x+1<0 .

L'equazione diventa −2 x−2=3 (oppure fin dall'inizio potevamo considerare 2 x+2=−3 ).

ovvero 2 x=−5 ovvero x=−5

2 . Tale soluzione è accettabile.

Ricapitolando, l'unica soluzione che abbiamo determinato è x=−5 2 .

42 (prima)

∣3 x−2−∣x−2∣∣=4

Consideriamo prima il valore assoluto più interno.

Caso x−2≥0 ovvero x≥2 .

L'equazione diventa ∣3 x−2−(x−2)∣=4 ovvero ∣3 x−2−x+2∣=4 ovvero ∣2 x∣=4 ovvero 2 x=4 ovvero x=2 . Ho potuto togliere anche il valore assoluto esterno perché stiamo esaminando il caso x≥2 . Dunque abbiamo determinato una soluzione accettabile.

Caso x−2<0 ovvero x<2 .

L'equazione diventa ∣3 x−2−(−x+2)∣=4 ovvero ∣3 x−2+ x−2∣=4 ovvero ∣4 x−4∣=4 ovvero ∣x−1∣=1 che ha come soluzioni x=2∨x=0 . La soluzione x=0 è accettabile mentre l'altra formalmente non è accettabile (in pratica l'avevamo già accettata nel caso precedente) Ricapitolando abbiamo determinato due soluzioni: x=0∨x=2 .

42 (seconda)

∣2 x−3−∣x+3∣∣=1

Partiamo dal valore assoluto più interno.

Caso x+3≥0 ovvero x≥−3

L'equazione diventa ∣2 x−3−x−3∣=1 ovvero ∣x−6∣=1 della quale si determinano facilmente le soluzioni x=7∨x =5 entrambe accettabili.

Caso x+3<0 ovvero x<−3

L'equazione diventa ∣2 x−3+ x+3∣=1 ovvero ∣3 x∣=1 della quale si determinano facilmente le soluzioni x=1

3∨x =−1

3 . Tali soluzioni non sono accettabili perché −3<−1 3<1

3 . Ricapitolando le soluzioni dell'equazione sono x=7∨x =5 .

43 (prima)

∣x−2∣−2∣x+1∣+3 x=0

Il primo argomento si annulla per x=2 mentre il secondo argomento si annulla per x=−1 . Questi due valori saranno i nostri punti cruciali rispetto ai quali faremo i nostri ragionamenti.

Caso x<−1 .

Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa −x+2−2 (−x−1)+3 x=0 ovvero −x+2+2 x +2+3 x=0 ovvero 4 x+4=0 ovvero x=−1 . Tale soluzione non è formalmente accettabile ma merita un'indagine specifica.

Caso x=−1

Sostituendo nell'equazione otteniamo 3−3=0 , cioè un'identità, dunque x=−1 è soluzione.

Caso −1<x<2

Il primo argomento è ancora negativo, il secondo invece è positivo. L'equazione diventa

−x+2−2 (x+1)+3 x=0 ovvero −x+2−2 x−2+3 x=0 ovvero 0=0 . Questo significa che in questo caso l'equazione è indeterminata e quindi ogni x (tra quelle tali che −1<x<2 ) è soluzione.

Caso x=2

Sostituendo nell'equazione otteniamo 6−6=0 , cioè un'identità, dunque x=2 è soluzione.

Caso x>2

Entrambi gli argomenti sono positivi, quindi l'equazione diventa x−2−2( x+1)+3 x=0 ovvero

−x+2−2 (x+1)+3 x=0 ovvero 2 x=0 ovvero x=0 . Tale soluzione non è accettabile perché 0<2 .

Ricapitolando le soluzioni richieste sono i valori di x tali che −1≤x≤2 . 43 (seconda)

∣x−3∣−3∣x+2∣+4 x+3=0

due valori saranno i punti cruciali dei nostri ragionamenti.

Caso x<−2 .

Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa −x+3−3(−x−2)+4 x+3=0 ovvero −x+3+3 x+6+4 x+3=0 ovvero 6 x+12=0 ovvero x=−2 . Formalmente non possiamo accettare tale soluzione, ma guardando più da vicino...

Caso x=−2 .

Sostituisco nell'equazione ∣−2−3∣−3∣−2+2∣+4 (−2)+3=0 ovvero 5−8+3=0 . Dunque x=−2 è comunque soluzione dell'equazione.

Caso −2< x<3

Il primo argomento è ancora negativo, ma il secondo adesso è positivo. Dunque l'equazione diventa

−x+3−3( x+2)+4 x+3=0 ovvero −x+3−3 x−6+4 x+3=0 ovvero 0=0 . Dunque l'equazione è indeterminata e tutti i valori di x (tali che −2< x<3 ) sono soluzioni.

Caso x=3

Sostituisco nell'equazione ∣3−3∣−3∣3+2∣+4 (3)+3=0 ovvero −15+12+3=0 . Dunque x=3 è comunque soluzione dell'equazione.

Caso x>3

Entrambi gli argomenti sono positivi, dunque l'equazione diventa x−3−3( x+2)+4 x+3=0 ovvero x−3−3 x−6+4 x+3=0 ovvero 2 x−6=0 ovvero x=3 . Formalmente in questo caso non è accettabile, in realtà l'abbiamo già accettata nel caso precedente.

Ricapitolando le soluzioni richieste sono tutti i valori di x tali che −2≤x≤3 . 44 (prima)

∣2+3 x−∣x−1∣∣=2

Partiamo dal valore assoluto più interno.

Caso x−1≥0 ovvero x≥1 .

L'equazione diventa ∣2+3 x−(x−1)∣=2 ovvero ∣2+3 x−x+1∣=2 ovvero ∣2 x+3∣=2 . Al contrario di quanto avveniva negli esercizi precedenti, non è immediato risolvere l'equazione ottenuta, perciò distinguiamo due sottocasi.

Sottocaso 2 x+3≥0 ovvero x≥−3

2 . Ma siamo già con x>1>−3 2 .

L'equazione diventa semplicemente 2 x+3=2 ovvero 2 x=−1 ovvero x=−1 2 . Tale soluzione non è accettabile perché ci troviamo sempre nel caso x>1 .

Per lo stesso motivo, il sottocaso 2 x+3<0 ovvero x<−3

2 non verrà nemmeno preso in considerazione.

Caso x−1<0 ovvero x<1 .

L'equazione diventa ∣2+3 x−(−x+1)∣=2 ovvero ∣2+3 x+ x−1∣=2 ovvero ∣4 x+1∣=2 . Occorre distinguere due sottocasi.

Sottocaso 4 x+1≥0 ovvero x≥−1

4 . Ricordando la precedente condizione −1

4<x<1 . L'equazione diventa semplicemente 4 x+1=2 ovvero 4 x=1 ovvero x=1

4 che è accettabile.

Sottocaso 4 x+1<0 ovvero x<−1 4 .

L'equazione diventa −4 x−1=2 ovvero −4 x=2+1 ovvero −4 x=3 ovvero x=−3 4 che è accettabile.

Ricapitolando le soluzioni richieste sono x=1

4∨x=−3 4 44 (seconda)

∣x+2∣+∣2 x+1∣=5

Ci sono due valori assoluti, i due argomenti si annullano per x=−2 e per x=−1

2 . Questi due valori saranno i punti cruciali della nostra ricerca di soluzioni.

Caso x<−2 . Entrambi gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa −(x+2)−(2 x+1)=5 ovvero −x−2−2 x−1=5 ovvero −3 x−3=5 ovvero −3 x=8 ovvero x=−8

3 . Tale soluzione è accettabile.

Caso −2≤x<−1

2 . Il primo argomento è positivo o nullo, il secondo è ancora negativo.

L'equazione diventa x+2−(2 x +1)=5 ovvero x+2−2 x−1=5 ovvero −x+1=5 ovvero

−x=4 ovvero x=−4 . Tale soluzione non è accettabile perché −4<−2 . 1

L'equazione diventa x+2+2 x+1=5 ovvero 3 x+3=5 ovvero 3 x=5−3 ovvero 3 x=2 ovvero x=2

3 . Tale soluzione è accettabile.

Ricapitolando, le soluzioni richieste sono x=2

3∨x=−8 3 45 (prima)

∣2−x∣=5+∣2 x+1∣

In questa equazione vediamo due valori assoluti. Ci interessano in particolare i valori di x per cui i due argomenti si annullano. Il primo argomento si annulla per x=2 mentre il secondo si annulla per x=−1

2 . Distinguiamo tre casi.

Caso x<−1

2 . Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo.

L'equazione diventa 2−x=5−2 x−1 ovvero 2 x−x=5−1−2 ovvero x=2 . Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso −1

2≤x<2 . Entrambi gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa 2−x=5+2 x+1 ovvero 2 x−x=5+1−2 ovvero x=4 . Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso x≥2 . Il primo argomento è negativo, mentre il secondo è positivo.

L'equazione diventa −2+ x=5+2 x+1 ovvero x−2 x=5+1−2 ovvero −x=4 ovvero x=−4 . Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Ricapitolando, non abbiamo trovato soluzioni accettabili, dunque l'equazione è impossibile.

45 (seconda)

∣4+ x∣=∣5−2 x∣+7 x

Vediamo due valori assoluti. Ci interessano i valori di x per cui si annullano gli argomenti. Il primo argomento si annulla per x=−4 , il secondo argomento si annulla per x=5

2 . Distinguiamo tre casi.

Caso x<−4 . Il primo argomento è negativo, il secondo è positivo.

L'equazione diventa −4−x=5−2 x+7 x ovvero 2 x−7 x−x =5+4 ovvero −6 x=9 ovvero x=−3

2 . Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso −4≤x<5

2 . Entrambi gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa 4+x=5−2 x+7 x ovvero 2 x−7 x+x=5−4 ovvero −4 x=1 ovvero x=−1

4 . Tale soluzione è accettabile.

Caso x≥5

2 . Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo.

L'equazione diventa 4+x=−5+2 x+7 x ovvero −2 x−7 x +x=−5−4 ovvero −8 x=−9 ovvero x=9

8 . Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti: 9

8<20 8 =5

2 .

Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione accettabile: x=−1 4

46 (prima)

∣x−3∣−2∣x+1∣=x−1

Vediamo due valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano per x=−3 e l'altro per x=−1 . Distinguiamo tre casi.

Caso x<−1 . Gli argomenti sono entrambi negativi.

L'equazione diventa −x+3−2(−x−1)= x−1 ovvero −x+3+2 x+2=x−1 ovvero

−x+2 x−x=−1−3−2 ovvero 0=−6 . L'equazione è impossibile.

Caso −1≤x<3 . Il primo argomento è negativo, il secondo invece è positivo.

L'equazione diventa −x+3−2( x+1)=x−1 ovvero −x+3−2 x−2= x−1 ovvero

−x−2 x−x=−1−3+2 ovvero −4 x=−2 ovvero x=1

2 . Tale soluzione è accettabile.

Caso x≥3 . Gli argomenti sono entrambi positivi.

L'equazione diventa x−3−2 (x+1)=x−1 ovvero x−3−2 x−2=x−1 ovvero x−2 x−x=−1+3+2 ovvero −2 x=4 ovvero x=−2 . Tale soluzione non è accettabile,

Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione accettabile x=1 2 . 46 (seconda)

2−∣x−1∣+3∣x−4∣=0

Vediamo due valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano il primo per x=1 e il secondo per x=4 . Distinguiamo due casi.

Caso x<1 . Entrambi gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa 2−(−x+1)+3(−x+4)=0 ovvero 2+x−1−3 x+12=0 ovvero

−2 x+13=0 ovvero x=13

2 . Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso 1≤x<4 . Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo.

L'equazione diventa 2−( x−1)+3(−x+4)=0 ovvero 2−x+1−3 x+12=0 ovvero

−4 x+15=0 ovvero x=15

4 . Tale soluzione è accettabile: 1=4 4<15

4 <16 4 =4 . Caso x≥4 . Gli argomenti sono entrambi positivi.

L'equazione diventa 2−( x−1)+3(x−4)=0 ovvero 2−x+1+3 x−12=0 ovvero 2 x−9=0 ovvero x=9

2 . Tale soluzione è accettabile: 9 2>8

2=4 . Ricapitolando abbiamo trovato due soluzioni: x=13

2 ∨x =9 2 . 47 (prima)

x+3+∣x∣−∣2 x+3∣=0

Vediamo due valori assoluti, l'argomento del primo si annulla ovviamente per x=0 mentre il secondo argomento si annulla per x=−3

2 . Distinguiamo tre casi.

Caso x<−3

2 . Entrambi gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa x+3−x−(−2 x−3)=0 ovvero x+3−x+2 x+3=0 ovvero 2 x+6=0 ovvero x=−3 . Tale soluzione è accettabile.

Caso −3

2≤x<0 . Il primo argomento è ovviamente negativo, l'altro è positivo.

L'equazione diventa x+3−x−(2 x+3)=0 ovvero x+3−x−2 x−3=0 ovvero −2 x=0 ovvero x=0 . Tale soluzione non è accettabile rispetto alle condizioni che ci siamo posti per questo caso, anche se la ritroveremo nel terzo caso.

Caso x≥0 . Entrambi gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa x+3+x−(2 x+3)=0 ovvero 2 x+3−2 x−3=0 ovvero 0=0 . IN questo caso la nostra equazione è indeterminata, ovvero tutti i valori che consideriamo accettabili sono soluzioni dell'equazione. Tutti i valori di x tali che x≥0 sono accettabili (fra questi c'è anche x=0 che avevamo rifiutato nel caso precedente).

Ricapitolando le soluzioni richieste sono x=−3∨x≥0 47 (seconda)

1−∣2 x+1∣+∣x−3∣−∣x∣=0

Questa volta i valori assoluti sono tre. Il primo argomento si annulla per x=−1

2 , il secondo si annulla per x=3 e il terzo ovviamente per x=0 . Dovremo distinguere ben quattro casi.

Caso x<−1

2 . Tutti gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa 1−(−2 x−1)+(−x+3)−(−x )=0 ovvero 1+2 x+1−x+3+ x=0 ovvero 2 x+5=0 ovvero x=−5

2 . Tale soluzione è accettabile.

Caso −1

2≤x<0 . Il primo argomento è positivo, gli altri sono ancora negativi.

L'equazione diventa 1−(2 x+1)+(−x+3)−(−x)=0 ovvero 1−2 x−1−x+3+ x=0 ovvero

−2 x+3=0 ovvero x=3

2 . Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa le condizioni che ci siamo posti.

Caso 0≤x<3 . Il primo e il terzo argomento sono positivi, l'altro è negativo.

L'equazione diventa 1−(2 x+1)+(−x+3)−x=0 ovvero 1−2 x−1−x+3−x=0 ovvero

−4 x+3=0 ovvero x=3

4 . Tale soluzione è accettabile.

Caso x≥3 . Tutti gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa 1−(2 x+1)+(x−3)−x=0 ovvero 1−2 x−1+ x−3−x=0 ovvero

−2 x−3=0 ovvero x=−3

2 . Tale soluzione non è accettabile, perchè non soddisfa le condizioni che abbiamo posto.

48 (prima)

∣2 x−5∣+∣x−1∣=4 x−∣x−4∣ .

Ci sono tre valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano per x=5

2 ; x=1 ; x=4 . Distingueremo quattro casi.

Caso x<1 . Tutti gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa −2 x+5−x+1=4 x−(−x+4) ovvero −2 x+5−x+1=4 x+ x−4 ovvero

−2 x−x−4 x−x=−5−1−4 ovvero −8 x=−10 ovvero x=5

4 . Tale soluzione non è accettabile.

Caso 1≤x<5

2 . Il secondo argomento è positivo, gli altri sono ancora negativi.

L'equazione diventa −2 x+5+ x−1=4 x−(−x+4) ovvero −2 x+5+ x−1=4 x+ x−4 ovvero

−2 x+x−4 x−x=−4−5+1 ovvero −6 x=−8 ovvero x=4

3 . Tale soluzione è accettabile, infatti 1=3

3<4 3=8

6<15 6 =5

2 . Caso 5

2≤x<4 . Il primo e il secondo argomento sono positivi, il terzo è ancora negativo.

L'equazione diventa 2 x−5+x−1=4 x−(−x+4) ovvero 2 x−5+x−1=4 x+x−4 ovvero 2 x−x−4 x−x=−4+5+1 ovvero −5 x=2 ovvero x=−2

5 . Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso x≥4 . Tutti gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa 2 x−5+x−1=4 x−(x−4) ovvero 2 x−5+x−1=4 x−x +4 ovvero 2 x+ x−4 x+x =4+5+1 ovvero 0=10 . Non ci sono soluzioni, in questo caso l'equazione è impossibile.

Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione: x=4 3

48 (seconda)

∣∣x−2∣−∣x−4∣∣= x

La situazione è piuttosto ingarbugliata: vediamo due valori assoluti, contenuti a loro volta in un altro valore assoluto, cioè fanno parte di un'espressione che a sua volta è argomento di un valore assoluto. Gli argomenti dei valori assoluti interni si annullano rispettivamente per x=2 e per x=4 . Costruiremo la nostra casistica su questi due valori, lasciando lo studio del valore assoluto più grande al caso specifico.

Caso x<2 . Entrambi gli argomenti (interni) sono negativi.

L'equazione diventa ∣−x+2−(−x+4)∣=x ovvero ∣−x+2+ x−4∣= x ovvero ∣−2∣=x ovvero x=2 . Non c'è stato bisogno di studiare il valore assoluto esterno, abbiamo trovato una soluzione che però non possiamo accettare in questo caso.

Caso 2≤x<4 . Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo.

L'equazione diventa ∣x−2−(−x+4)∣=x ovvero ∣x−2+x−4∣=x ovvero ∣2 x−6∣=x . Adesso è giunto il momento di studiare anche il valore assoluto più esterno. Il suo argomento si annulla per x=3 . Dobbiamo perciò distinguere due sottocasi.

Sottocaso 2≤x<3 . L'argomento è negativo.

L'equazione diventa −2 x+6=x ovvero −2 x+6−x=0 ovvero 6−3 x=0 ovvero x=2 . Tale soluzione è accettabile.

Sottocaso 3≤x<4 . L'argomento è positivo.

L'equazione diventa 2 x−6= x ovvero 2 x−x=6 ovvero x=6 . Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.

Caso x≥4 . Gli argomenti (interni) sono entrambi positivi.

L'equazione diventa ∣x−2−( x−4)∣=x ovvero ∣x−2−x+4∣=x ovvero x=2 . Nel caso specifico non è accettabile, abbiamo già accettato questo valore in un altro caso. (E lo avevamo già scartato in un altro ancora).

Ricapitolando abbiamo determinato la soluzione x=2 49 (prima)

∣2−∣x∣∣=x−3

Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo “uguale” abbiamo un valore assoluto, dunque a destra ci sarà un numero maggiore o uguale a zero. Dunque la nostra ricerca delle soluzioni è subito ristretta a x≥3 .

nostra equazione diventa −2+ x=x−3 ovvero −2=3 che è falsa qualunque sia il valore di x.

Ricapitolando, l'equazione che ci è stato chiesto di risolvere è impossibile.

49 (seconda)

∣x+∣x−1∣∣+3∣x−1∣=x

Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo “uguale” vediamo una somma di numeri positivi o nulli. Dunque anche l'espressione a destra dovrà essere positiva o nulla, ovvero x≥0 .

Dobbiamo comunque studiare due casi.

Caso x<1 .

L'equazione diventa ∣x−x+1∣+3(−x+1)= x ovvero 1−3 x+3=x ovvero 4 x=4 ovvero x=1 . Che al momento non è formalmente accettabile.

Caso x≥1 .

L'equazione diventa ∣x+x−1∣+3( x−1)=x ovvero ∣2 x−1∣+3 x−3= x . In questo caso abbiamo l'argomento 2 x−1>0 per ogni x≥1 . Dunque l'equazione diventa

2 x−1+3 x−3= x ovvero 4 x=4 ovvero x=1 che in questo caso è accettabile.

Ricapitolando, la soluzione è x=1 50

∣2 x−a∣=a−1

Si tratta di un'equazione con parametro. Nella consuetudine scolastica l'incognita viene indicata con la lettera x e il parametro con una qualsiasi lettera dell'alfabeto.

Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo “uguale” vedo un valore assoluto, dunque un numero positivo o nullo. Così deve essere anche a destra, dunque di sicuro il parametro a≥1 .

Se preferite, potremmo dire che con a<1 l'equazione è impossibile.

Il “trucco” per affrontare le equazioni con parametro è “fare finta” che il parametro sia un numero noto e comportarci esattamente come faremmo con un numero noto. La nostra prima preoccupazione è togliere di mezzo il valore assoluto.

Caso 2 x−a≥0 ovvero x≥a 2 .

L'equazione diventa 2 x−a=a−1 ovvero 2 x=2 a−1 ovvero x=2 a−1

2 . A questo punto ci chiediamo se la soluzione trovata sia accettabile, ovvero se sia tale che x=2 a−1

2 ≥a

2 ovvero 2 a−1≥a ovvero a≥1 che è proprio la situazione in cui ci troviamo. Dunque la soluzione è accettabile.

Caso 2 x−a<0 ovvero x<a 2 .

L'equazione diventa −2 x+a=a−1 ovvero −2 x=−1 ovvero x=1

2 . A questo punto di dovremmo discutere la soluzione trovata, ci chiediamo cioè se tale soluzione si coerente con la condizione posta, in altre parole se è vero che x=1

2<a

2 ovvero a>1 .

La soluzione trovata è dunque valida se a>1 . Rimane scoperto il caso a=1 che però possiamo verificare a parte.

2 x−1=1−1 ovvero 2 x−1=0 ovvero x=1 2 . Ricapitolando, al variare del parametro abbiamo:

con a<1 l'equazione è impossibile;

con a≥1 le soluzioni sono x=1

2∨x=2 a−1

2 .

51

Determiniamo le soluzioni in funzione del parametro a.

Prima equazione: 3 x−2 a+4=0 ovvero x=2 a−4

3 .

Seconda equazione: 6 x−a=6 ovvero x=a+6

6 .

Per essere uguali in valore assoluto possono essere uguali oppure opposti.

2 a−4 a+6 ovvero 4 a−8=a+6 ovvero 3 a=14 ovvero a=14 .

2 a−4

3 =−a+6

6 ovvero 4 a−8=−a−6 ovvero 5 a=2 ovvero a=2 5 Dunque i valori richiesti sono a=14

3 ∨a=2 5 52

Determinano le soluzioni rispetto a x (in funzione del parametro k) x−2 k +4=0 ovvero x=2 k −4

2 x−k +3=0 ovvero x=k−3 2

Deve essere 2 k−4=

∣

∣

Si osservi immediatamente che deve essere k ≥2 altrimenti l'equazione è impossibile.

Caso 2≤k <3 .

L'equazione diventa 2 k−4=−k +3

2 ovvero 4 k−8=−k+3 ovvero 5 k =11 ovvero k =11

5 che è accettabile.

Caso k ≥3

L'equazione diventa 2 k−4=k −3

2 ovvero 4 k−8=k−3 ovvero 3 k =−5 ovvero k =−5 3 che non è accettabile.

Ricapitolando abbiamo trovato come soluzione un solo valore k =11 5 53

Prima di tutto risolviamo rispetto a x entrambe le equazioni.

2 x−k +3=0 ha come soluzione x=k −3 2 . x−2 k +4=0 ha come soluzione x=2 k−4 . Ci viene chiesto di determinare un k tale che k−3

2 =∣2 k −4∣ .

Sicuramente, se tale valore di k esiste, deve essere k ≥3 , perché se l'uguaglianza è vera il numero a sinistra deve essere positivo o nullo.

Si vede in modo immediato che k =3 non verifica l'uguaglianza e quindi dobbiamo cercare tra i valori k >3 .

Si noti anche che l'argomento del valore assoluto è positivo già con k >2 e quindi a maggior ragione con k >3 . Possiamo dunque togliere le barrette del valore assoluto e studiare un unico caso, quello con l'argomento positivo.

In definitiva ci basta risolvere l'equazione k−3

2 =2 k−4 ovvero k −3=4 k −8 ovvero

−3 k =−5 ovvero k =5

3 . Siccome 5 3<9

3=3 tale soluzione non è accettabile.

Dunque non esistono valori di k che soddisfano la richiesta.