FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 2 luglio 2012
TEMA
1
Esercizio 1 Si consideri per ogni a ∈ R l’equazione
F (x, y, z) = a sinh(x + 2y + z + 1) + 3x2yz − (a − 1) e
aRz
−1et2dt
= 1 − a.
(a) Determinare i valori del parametro a per i quali, sulla base del Teorema del Dini, in un intorno del punto P0 = (0, 0, −1) l’equazione data risulta esplicitabile i) almeno rispetto ad una variabile; ii) rispetto a tutte e tre le variabili, x, y e z.
(b) Per i valori di a determinati nel punto (a), i), determinare l’equazione del piano tangente alla superficie definita implicitamente dall’equazione data in P0 = (0, 0, −1).
(c) Determinare, se esiste, il valore di a tale che il piano tangente trovato in (b) risulti parallelo al piano z = 1 − x − 2y.
Esercizio 2 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) =
x + 3yz, xz − 3 sin x, 6 sin
πx 1 − y
− 2 + x(1 − y)
, calcolare
(a) il flusso di F uscente dal tetraedro di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2), (0, 0, 0);
(b) R
SF · ν dσ, cio`e il flusso di F , attraverso la superficie S data dal triangolo di vertici (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0) con normale ν = (0, 0, 1).
Esercizio 3 Si consideri il seguente insieme:
D = (
(x, y) ∈ R2 |
√ 3
2 y ≤ |x|, x2+ (|y| − 1)2 ≤ 4 )
.
Disegnare D e determinare i massimi e minimi assoluti di f (x, y) = tanh x2+ 2y su D.
Esercizio 4 Si consideri per ogni k ∈ R la forma differenziale lineare ω = exlog(z2) dx +
2ye(y2+kz)
dy +
3z2+ (4 − k)e(y2+kz)+2ex z
dz.
(a) Trovare il dominio di ω e determinare k ∈ R per cui ω risulta esatta nel semispazio z > 0.
(b) Per il valore di k trovato in (a), determinare una primitiva di ω nel semispazio z > 0.
(c) Per il valore di k trovato in (a), determinare R
γω, dove γ `e la semicirconferenza data da z =√
e, x2+ y2 = 4, x ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
