CP2 - ESERCITAZIONE GUIDATA Maggio 2009

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CP2 - ESERCITAZIONE GUIDATA Maggio 2009

ESERCIZIO 1

Sia ^X ^{~ N} ( ^{, C} ) dove Y

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ b 2 1 k

b= e C=

1 k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

4 1. Per quali valori reali di k esiste la densità del vettore X Y

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ?

⎝ ⎠

2. Scegliere un valore di k scelto fra quelli del punto 1 e calcolarle la densità di X Y

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ .

⎝ ⎠ 3. Calcolare, se esiste, la densità di 3X-

2Y . Y+1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

4. Determinare una trasformazione

¹

) ⎟ che non ammette densità.

2

(X,Y) U

V (X,Y

φ φ

⎛ ⎞

⎛ ⎞ = ⎜

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ESERCIZIO 2

Sia X ∼ N(0,1) e Y=X+W, con W∼ N(0,σ

²

) ed indipendente da X.

1. Calcolare la legge di Y.

2. Calcolare la legge congiunta (X,W).

3. Calcolare E(X/Y=y).

4. Calcolare 11

E X / Y 20

⎛ = ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

5. Se σ=0.1, quanto vale ^P ( ^{1 / 4} ^X ^{3 / 4 /} ) ¹¹ ^?

Y 20

⎛ < < = ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ESERCIZIO 3

Sia (X,Y) un vettore aleatorio di densità congiunta

( , ) 1 ; 0, . 2

y

f

XY

x y e x y x

x

=

−

> >

1. Determinare le leggi marginali di X e Y.

2. Le v.a X e Y sono indipendenti?

3. Le v.a. X e ( ^Y ⁻ ^Y ) sono indipendenti?

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