Probabilità 2 Esercitazione guidata del 22 aprile 2010

Probabilità 2

Esercitazione guidata del 22 aprile 2010

Sia

ESERCIZIO 1

( ) ^, ( ^, )

f

x y = P X = x Y = y una densità discreta

Y\X X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 f

(y)

Y = 1 .01 .07 .09 .03 .2

Y = 2 .20 .00 .05 .25 .5

Y = 3 .09 .03 .06 .12 .3

f

(x) .3 .1 .2 .4 1

1. Determinare f

( x / 2 )

2. Determinare f

( y / 2 )

3. Calcolare ^{E Y} [ ^{| X = x} ]

4. Calcolare ^{E Y} [ ^{| X = 2} ]

Sia (X,Y) un vettore aleatorio di densità ESERCIZIO 2

( ) ^{, 21}

^;

¹

XY

4

f x y = x y x ≤ ≤ y 1. Determinare le leggi marginali di X e Y.

2. Determinare

( | ) ¹

X Y

2

f y .

3. Determinare f

( | ) y x e verificare esplicitamente che si tratta di una densità di probabilità.

Sia

ESERCIZIO 3

/

0.2 1 0.3 2 ( | 2)

0.5 3 0

Y X

se y f y se y

se y altrove

 =

 =

=    =



1. Determinare E[Y |X = 2].

2. Verificare che ^{E Y} [ ] ^{= E E Y } _ ( ^{| X} ) ^ _

La variabile Y rappresenta un valore di un bene al variare di un indicatore economico M.

ESERCIZIO 4

Y=126 Y=128 Y=130 Y=132 totale

M=.02 .10 .15 .05 0 .30

M=.01 .05 .15 .15 .05 .40

M =0 0 .10 .10 .10 .30

totale .15 .40 .30 .15 1.0

1. Determinare E(Y).

2. Determinare E(Y/M=0.2).

3. Determinare E(Y/M=m).

Si supponga che (X, Y) abbia densità ESERCIZIO 5

a) f

(x, y) = x + y per 0 < x < 1, 0 < y < 1 b) f

(x, y) = 2(x + y) per 0 < x < y < 1 c) f

(x, y) = 6x

y per 0 < x < 1, 0 < y < 1 d) f

(x, y) = 15x

y per 0 < x < y < 1 Determinare, per ognuna delle densità :

1. f

(x), f

(y),f

(x/ y) 2. E(Y | X)

3. E(X | Y)

4. E(Y | X=x)

5. E(X | Y=y)