Analisi Matematica II

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Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/7/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Data la funzione

f (x, y) = x|2y − 2 − xy ² |

calcolare le derivate parziali nei punti (0, 1) e (1, 1). Stabilire se f risulta differenziabile in tali punti. Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) lungo la direzione del generico versore v = (v 1 , v 2 )

Problema 2: Determinare e studiare la natura dei punti critici del seguente campo scalare f (x, y) = e ^x−y (2y ² − x ² )

Esistono punti di massimo e minimo assoluto di f in R ² .

Problema 3: Determinare l’area della parte di superficie S = {(x, y, z) ∈ R ³ : z = 2x ² + y ² } contenuta nell’insieme D = {(x, y, z) ∈ R ³ : z ≤ −x ² + ¹ ₄ y ² + 1}

Problema 4: Risolvere l’equazione differenziale

y ⁰⁰ + ay ⁰ + y = cos t al variare del parametro a ∈ R.

Problema 5: Detto A = (−1, √

2] ∪ [2, 1 + √

π), calcolare

n→+∞ lim Z

A

e ^1−t

sin(nt)dt .

Problema 6: Classificare le singolarit` a di

f (z) = e ^1/z

1 − z

e calcolarne il residuo.

Analisi Matematica II

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/7/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Data la funzione

f (x, y) = x|2y − 2 − xy 2 |

calcolare le derivate parziali nei punti (0, 1) e (1, 1). Stabilire se f risulta differenziabile in tali punti. Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1) lungo la direzione del generico versore v = (v 1 , v 2 )

Problema 2: Determinare e studiare la natura dei punti critici del seguente campo scalare f (x, y) = e x−y (2y 2 − x 2 )

Esistono punti di massimo e minimo assoluto di f in R 2 .

Problema 3: Determinare l’area della parte di superficie S = {(x, y, z) ∈ R 3 : z = 2x 2 + y 2 } contenuta nell’insieme D = {(x, y, z) ∈ R 3 : z ≤ −x 2 + 1 4 y 2 + 1}

Problema 4: Risolvere l’equazione differenziale

y 00 + ay 0 + y = cos t al variare del parametro a ∈ R.

Problema 5: Detto A = (−1, √

2] ∪ [2, 1 + √

π), calcolare

n→+∞ lim Z

A

e 1−t

sin(nt)dt .

Problema 6: Classificare le singolarit` a di

f (z) = e 1/z

1 − z

e calcolarne il residuo.

f (x, y) = x|2y − 2 − xy ² |

Problema 2: Determinare e studiare la natura dei punti critici del seguente campo scalare f (x, y) = e ^x−y (2y ² − x ² )

Esistono punti di massimo e minimo assoluto di f in R ² .

Problema 3: Determinare l’area della parte di superficie S = {(x, y, z) ∈ R ³ : z = 2x ² + y ² } contenuta nell’insieme D = {(x, y, z) ∈ R ³ : z ≤ −x ² + ¹ ₄ y ² + 1}

y ⁰⁰ + ay ⁰ + y = cos t al variare del parametro a ∈ R.

e ^1−t

f (z) = e ^1/z