PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

26 Febbraio 2019 COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Autovalori e Autovettori

Data la matrice

A =  3 1 1 2

 ,

calcolare (a) gli autovalori di A; (b) gli autovettori di A.

1

2 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = 3 x

− 2 .

(a) Determinare dominio e asintoti orizzontali e verticali. (b) Stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo e determinarne le coordinate. (c) Disegnare il grafico della funzione.

2

3 Serie di Potenze

Dato l’integrale

Z

x

sin √ x dx ,

(a) riscrivere la funzione integranda rappresentando la funzione trigonometrica mediante serie di Taylor centrata nell’origine; (b) calcolare l’integrale definito uti- lizzando l’espressione analitica ottenuta in (a).

3

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4