Urti su scale diverse

Urti

urto :

agisce per un tempo relativamente breve su due o più corpi in contatto tra loro

[approssimazione impulsiva: trascuro forze esterne]

r  risultato di un contatto fisico

r  risultato di una interazione tra particelle

Urti su scale diverse

m

m

F!21

F!12

He4

++

p

+

meteor-crater 1200 m

Δt ≈ 4 ms

α Ν

per ogni tipo di urto

la quantità di moto totale si conserva

L esercita su R forza F(t) R esercita su L forza –F(t) F(t) e –F(t) sono

coppia di forze azione e reazione:

r  intensità varia nel tempo

r  intensità è uguale istante per istante

∫

∫

−

= Δ

= Δ

i

i i

i

t

t L

t

t R

dt t F p

dt t F p

)) ( (

) (

= 0 Δ

+ Δ

Δ

−

= Δ

L R

L R

p p

p p

costante p

p

p ! = !

+ !

=

le forze impulsive sono interne al sistema,

quindi NON influenzano la quantità di moto totale

Quantità di Moto negli Urti

t F

F(t)

- F(t)

Energia negli Urti

l’energia cinetica NON si conserva sempre negli urti posso avere conversione in

r  energia termica

r  energia acustica

r  energia potenziale elastica (deformazione dei corpi)

r  energia rotazionale

urto elastico:

energia cinetica totale non cambia

[es. urto fra bocce]

urto anelastico:

energia cinetica totale non si conserva

[es. urto palla di gomma su pavimento]

urto perfettamente anelastico:

massima trasformazione energia cinetica totale,

i due corpi rimangono uniti

[es. urto palla di plastilina su pavimento]

f tot i

tot

K

K ) ( )

( =

...

) (

)

( K

= K

+ E

+ E

+

2 , 1

,

) (

) (

i i

f

i tot f

tot

m m

m

K K

+

=

≠

in tutti i casi la quantità di moto si conserva sempre

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

Urti in UNA dimensione urto perfettamente anelastico

[conservo solo quantità di moto]

prima

dopo

le particelle dopo l’urto

rimangono unite con velocità v_f

f i

i

f i

v m m v

m v

m

p

p !

!

!

!

!

) ( _{1 2}

2 2 1

1 + = +

=

) ( _{1 2}

2 2 1

1

m m

v m v

v_f m ^{i i} +

= +

!

! !

esempio: pendolo balistico

dispositivo per determinare velocità dei proiettili

M v m V m

( + )

= conservazione

quantità di moto

conservazione energia meccanica gh

M m V

M

m ) ( )

2(

1 ₂

+

= +

m gh M v m+ 2

=

trasformo alta velocità proiettile in bassa velocità corpo pesante [di facile misurazione]

cm h

kg M

g m

s m v

3 . 6

4 . 5 5

. 9 /

630

=

=

=

=

urto elastico

[conservo quantità di moto ed energia cinetica]

prima dopo

f f

i i

f i

v m v

m v

m v

m

p p

2 2 1

1 2

2 1

1

!

!

!

!

!

!

+

= +

=

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

) ( ) (

f f

i i

f tot i

tot

v m v

m v

m v

m

K K

+

= +

=

bersaglio mobile

) (

)

( _{1 1 2 2 2}

1 i f i f

f

i p m v v m v v

p! = ! ⇒ − = − −

) (

) (

) (

)

(K_{tot i} = K_{tot f} ⇒ m₁ v₁²_i −v₁²_f = −m₂ v₂²_i −v₂²_f

divido le due precedenti equazioni e sostituisco … )

( )

(v_1i +v_1f = v_2i +v_2f

i i

f

i i

f

m v m

m v m

m m

v m

m v m

v m m m

m v m

2 2 1

1 2

1 2 1

1 2

2 2 1

2 1

2 1

2 1

1

2

2

+ + −

= +

+ + +

= −

) )(

( )

)(

( _{1 1 1 1 2 2 2 2 1}

1 vi v f vi v f m v i v f v i v f

m + − = − + −

N.B. note:

m₁, m₂ v_1i, v_2i

conservazione p (1) +

velocità relative (2)

(1)

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) (v_1i −v_2i) = −(v_1f −v_2f )

2_i

≠ 0

v

urto elastico

[conservo quantità di moto ed energia cinetica]

prima dopo

f f

i i

f i

v m v

m v

m v

m

p p

2 2 1

1 2

2 1

1

!

!

!

!

!

!

+

= +

=

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

) ( ) (

f f

i i

f tot i

tot

v m v

m v

m v

m

K K

+

= +

=

bersaglio mobile

) (

)

( _{1 1 2 2 2}

1 i f i f

f

i p m v v m v v

p! = ! ⇒ − = − −

) (

) (

) (

)

(K_{tot i} = K_{tot f} ⇒ m₁ v₁²_i −v₁²_f = −m₂ v₂²_i −v₂²_f

divido le due precedenti equazioni e sostituisco … )

( )

(v_1i +v_1f = v_2i +v_2f

i i

f

i i

f

m v m

m v m

m m

v m

m v m

v m m m

m v m

2 2 1

1 2

1 2 1

1 2

2 2 1

2 1

2 1

2 1

1

2

2

+ + −

= +

+ + +

= −

) )(

( )

)(

( _{1 1 1 1 2 2 2 2 1}

1 vi v f vi v f m v i v f v i v f

m + − = − + −

N.B. note:

m₁, m₂ v_1i, v_2i

conservazione p (1) +

velocità relative (2)

(1)

velocità relative uguali ed opposte prima e dopo l’urto

(2) (v_1i −v_2i) = −(v_1f −v_2f )

2_i

≠ 0

v

bersaglio fisso

f f

i f

i p m v v m v

p! = ! ⇒ ₁( ₁ − ₁ ) = _{2 2}

2 2 2 1

1 1 1

1( )( )

) ( )

(K_{tot i} = K_{tot f} ⇒ m v_i +v _f v_i −v _f = m v _f

divido le due precedenti equazioni e sostituisco …

i f

i f

m v m

v m

m v m

m v m

1 2 1

2 1

1 2 1

2 1 1

2

= +

+

= −

r masse uguali [m₁=m₂]

i f

f

v v

v

1 2

1 0

=

= scambio di velocità

[es. urto fra bocce/palle da biliardo]

r bersaglio massiccio [m₂>>m₁]

i f

i f

m v v m

v v

1 2 2 1

1 1

2

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

−

=

proiettile rimbalza indietro

[es. urto palla golf su palla cannone palla da baseball su mazza]

r proiettile massiccio [m₁>>m₂]

i f

i f

v v

v v

1 2

1 1

= 2

= proiettile indisturbato, bersaglio scatta in avanti

[es. urto palla cannone su palla golf]

2_i

= 0 v

http://ww2.unime.it/weblab/ita/wf2/urti/urti_ita.htm

esempi: urto elastico

urto fra palle di biliardo uguali:

i f

f

v v

v

1 2

1 0

=

=

pendolo multiplo:

rapida successione di urti elastici:

ad ogni urto una palla si ferma e palla successiva si muove

con stessa velocità

esercizi urti in una dimensione

Urti in DUE dimensioni

prima dopo

urto non frontale

(corpi non allineati

nella direzione del moto)

dopo urto i corpi non si muovono sullo stesso asse

⇒

conservazione quantità di moto:

f f

i i

f i

v m v

m v

m v

m

p p

2 2 1

1 2

2 1

1

!

!

!

!

!

!

+

= +

=

fy fy

iy iy

fx fx

ix ix

v m v

m v

m v

m

v m v

m v

m v

m

2 2 1

1 2

2 1

1

2 2 1

1 2

2 1

1

+

= +

+

= +

φ θ

φ θ

sin sin

0 0

cos cos

0

2 2 1

1

2 2 1

1 1

1

f f

f f

ix

v m v

m

v m v

m v

m

−

= +

+

= +

per componenti:

⇒

conservazione energia cinetica

[per urti elastici solamente!!!]

2 2 2 2

1 1 2

2 2 2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

f f

i

i m v m v m v

v

m + = +

esercizi urti in due dimensioni