Sassi lasciati cadere in sequenza

Sassi lasciati cadere in sequenza

Un sasso viene lasciato cadere da una altezza h; dopo un intervallo tem- porale t₀, un secondo sasso viene lanciato dalla stessa quota con velocit`a iniziale v0 diretta verso il basso.

Determinare la condizione su v₀ affinch´e il secondo sasso raggiunga il primo.

Soluzione

Consideriamo un asse z verticale, diretto verso l’alto, con origine nel punto nel quale i sassi vengono lasciati. Di conseguenza il terreno si trova ad una quota z = −h.

[il problema pu`o anche essere risolto ponendo l’origine dell’asse z al suolo;

si invita lo studente a scrivere esplicitamente le equazioni del moto ed a risolvere il problema con questa diversa scelta di origine/]

La legge oraria del primo sasso `e:

z1(t) = −1

2gt² (1)

Esso raggiungere il suolo ad un istante t₁ tale che:

−h = −1

2gt² → t₁ = s

2h

g (2)

Naturalmente dovr`a essere t₀ < t₁, affinch´e il secondo sasso possa rag- giungere il primo.

Per scrivere la legge oraria del secondo sasso, conviene spostare l’origine dei tempi:

z2(t) = −1

2g(t − t0)²− v₀(t − t0) (3) In questo modo sono automaticamente verificate le condizioni iniziali del problema: z2(t0) = 0 (quota di partenza) ˙z2(t0) = −v0 (velocit`a iniziale).

Mettendo a sistema le due leggi orarie si ottiene la velocit`a v₀in funzione dell’istante di incontro t_i:

v₀ = g

2·2t_i− t₀

ti− t₀ t₀ (4)

1

Il valore minimo possibile per v₀ si ha quando l’urto fra i sassi avviene esattamente all’istante t1nel quale il primo corpo tocca terra. La condizione su v0 `e, quindi:

v₀ ≥ g

2·2t₁− t₀

t₁− t₀ t₀ (5)

Si noti che per t₀ → t₁la velocit`a iniziale per far s`ı che sia possibile l’urto prima che il sasso 1 tocchi il suolo tende all’infinito. Viceversa, se t0 → 0, cio`e se si lancia il secondo corpo immediatamente dopo il primo, basta una piccola v₀ per avere un urto.

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