Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Matematica 1
Appello del 20 settembre 2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 20 settembre 2006
Domande elementari.
1. Risolvere la disequazione trascendente
e 2x
+3e x
4 0:
2. Risolvere l'equazione
p
4x 2
4x 1 = p
x 2
2x:
3. Risolvere la disequazione trigonometrica
4sin 4
x 13sin 2
x 12 0:
Domande teoriche.
1. Sia fa
n
g una successione tale che lim
n!1 a
n
= 1 e sia fb
n
g la succes-
sione b
n
= (a
n
1)sinn. Stabilire la convergenza della successione
fb
n
g e, in caso a ermativo, calcolarne il limite.
2. Utilizzandoil teoremadei valori intermedi,dimostrare che lafunzione
f(x) = sinx cosx ha almeno due zeri nell'intervallo [0;2].
3. Stabilire, in base al teorema del confronto asintotico, la convergenza
dell'integrale improprio
Z
1
dx
e x
1
1. Calcolare i seguenti limiti:
(a) lim
n!1 n
2
sin 1
n
+1 e 1=n
(b) lim
x!+1 e
1=x 2
e 1=x
3
e 1=x
e 1=x
2
2. Studiare la funzione
f(x) =
2sinx 1
2sin 2
x 3sinx 2
3. Calcolare il valore dell'integrale
Z
1=e
e
lnx
x(jlnxj+1) dx:
4. Determinare i primidue terminidello svilupp oin serie di Taylor della
funzione
f(x) =
x sinx
x 3
