Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Matematica 1
Appello del 14 gennaio 2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 14 gennaio 2006
Domande elementari.
1. Risolvereladisequazione
sin 2
x+ 3
2
sinx 10
2. Calcolare la derivata dellafunzione
f(x)=e sin
2
x
cosx
3. Calcolare l'integraleinde nito
Z
2x
x 2
+1 dx
Domande teoriche.
1. Enunciare e dimostrare il Teorema dell'Unicita del Limite p er una successione di
numerireali. Siconsideri soltanto ilcaso dilimite nito.
2. Dire se leseguenti a ermazionisono vereo false:
(a) sin 2
x=o(x), x!0
(b) sin 2
x=o(x 2
),x !0
(c) sin 2
x=o(x 3
), x!0
(d) x 3
+x 2
=o(x 3
), x!0
(e) x 3
+x 2
=o(x), x!0
(f)x 3
+x 2
=o(x 2
), x!0.
3. Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo [a;b], con f(x
0
) = 0, f(x) > 0 p er
a<x<x
0
ed f(x)<0 p erx
0
<x<b. Sia inoltreF(x)lafunzione integrale
F(x)= Z
x
a
f(t)dt:
Dire qualedelleseguentia ermazionie vera, giusti cando la risp osta:
(a) F(x)ha un massimoinx=x
0
(b) F(x) ha un minimoinx=x
0
(c) F(x)ha un esso orizzontale inx=x
0
(d) Nulla si puo diresulcomp ortamento di F(x)inx=x .
1. Calcolare i seguenti limiti:
(a) lim
n!1 h
p
2 n
+1 p
2 n
1 i
(b) lim
x!1
logx
x 1
2. Studiare la funzione
f(x)=
xlogx
logx 1
3. Calcolare il valore dell'integrale
Z
1
0
dx
x+ p
1+x 2
4. Stabilirela convergenzadell'integraleimproprio
Z
=2
dx
sin 3
x
