Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2005/2006
Matematica 1
Appello del 14 gennaio 2006
Nome:...
N. matr.:... Ancona, 14 gennaio 2006
Domande elementari.
1. Risolvereladisequazione
log (4x 2) 3
2. Calcolare la derivata dellafunzione
f(x)=
sinx+1
cosx
3. Calcolare l'integraleinde nito
Z
1
x 3
dx
Domande teoriche.
1. Enunciare e dimostrare il Teorema dei Valori Intermedi p er una funzione reale di
una variabilereale.
2. Sia f(x)=sinx. Le funzioni jf(x)j edjf(x)j 2
presentano cuspidi opunti angolosi?
Se si,in qualipuntidel dominio?
3. Sia x=x
0
un asintoto verticale p er una funzione f(x) e siag(x) una funzione tale
chelim
x!x0
g(x)=0. Direseleseguentia ermazionisonovereofalse,giusti cando
la risp osta:
(a) f(x)g(x)e continua in x=x
0
(b) il limitelim
x!x
0
f(x)g(x) esiste ede nito
(c) lafunzione f(x)g(x)ha un asintoto verticalein x=x
0
(d) la funzione f(x)g(x)e una forma indeterminatap er x!x .
1. Calcolare i seguenti limiti:
(a) lim
n!1 h
p
e n
+1 p
e n
1 i
(b) lim
x! 1 e
x
+x 2
+1
x 2
+1
2. Studiare la funzione
f(x)=
sin(x)+3sin(3x)
3 cos (x)+cos (3x)
3. Calcolare il valore dell'integrale
Z
1
0
x+1
x 2
5x+6 dx
4. Stabilirela convergenzadell'integraleimproprio
Z
=2
dx
sin 2
x
