Analisi Matematica 1 1 Aprile 2015 COMPITO 1 1. Il luogo degli z 2 C tali che (|Re(z)| + 3|Im(z)|)✓z¯z

Analisi Matematica 1 1 Aprile 2015 COMPITO 1

1. Il luogo degli z 2 C tali che

(|Re(z)| + 3|Im(z)|)

✓

z ¯z (Re(z))² ie^32⇡i z + ¯z 2

◆

= 0

`e dato da

Risp.: A : due punti B : una parabola C : una parabola unita ad un punto D : una circonferenza unita ad un punto

2. Sia 2 R. Il limite

n!+1lim

"

(n + 1)! n!

3nⁿ⁺¹ +cos_n¹ cos_n¹2

3n

#

vale

Risp.: A : 1/6 se = 2, 0 se 6= 2 B : 1/6 se = 2, 0 se > 2, 1 se < 2 C : 1/6 se = 2, 1 se 6= 2 D : 0 se 2, 1 se < 2

3. Il limite

xlim!0

1 p

cos(x²)

3x sin x + 3x²cosh x + 6 log(1 x²) vale

Risp.: A : ¹₈ B : 0 C : ¹₈ D : ¹₄

4. Sia 2 R. La serie

X1 n=1

n+3

7ⁿarctan n log(n³+ 1)

Risp.: A : converge assolutamente per | |  7 B : converge assolutamente per | | < 7 e semplicemente per = 7 C : converge semplicemente ma non assolutamente per | |  7

D : converge assolutamente per | | < 7 e semplicemente per = 7

5. Siano ↵ 2 R e f : R ! R data da

f (x) = 8>

<

>:

(e^{1 x} 1)^7↵

sin(1 x²) se x < 1

0 se x = 1

(x 1)²log(x 1) se x > 1.

x = 1 `e punto di salto se e solo se

Risp.: A : ↵ > ¹₇ B : ↵ =¹₇ C : ↵ <¹₇ D : ↵ 6= ¹₇

6. Sia F (x) la primitiva della funzione

f (x) = e^3x 1 e^3x+ 1 tale che F (0) = ^{log 4}₃ . Allora F (1) vale

Risp.: A : ¹₃log(e³+ 1) B : ^e_e³3+1¹ C : ¹₃log^(e3_e⁺¹⁾3 ² D : ¹₃log^e3_e⁺¹3

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰+ y = sin(3x) y(0) = ₁₀³ Allora ˜y(⇡) vale

Risp.: A : ₁₀³ B : ₁₀³ C : ^3e₁₀^⇡ D : 0

8. Sia data la funzione

f (x) = (log x)e^{log x2} Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f) =]0, 1[[]1, +1[ V F (b) lim_x!0⁺f (x) = +1 V F

(c) lim_x!1 f (x) = 0 e lim_x!1+f (x) = +1 V F (d) f ammette asintoto obliquo per x ! +1 V F

(e) f `e crescente in ]0, 1[[]e<sup>2</sup>, +1[ V F (f) x = e<sup>2</sup>`e punto di minimo assoluto V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.