Analisi Matematica 1 30 Agosto 2019 COMPITO 1 1. Il luogo geometrico dato dagli z 2 C tali che Re i(z

Analisi Matematica 1 30 Agosto 2019 COMPITO 1

1. Il luogo geometrico dato dagli z 2 C tali che

Rei(z²+ (Im z)²) z e^i32⇡(z ¯z 7e^4⇡i) = 0

`e dato da

Risp.: A : una parabola B : due punti C : una parabola privata di due punti D : una circonferenza privata di quattro punti

2. Il limite

n!+1lim

n^p7n 1 + 3 ⁿ pn + 7 p

n ln[(n + 1)³] vale

Risp.: A : ¹₃ B : ²₃ C : e⁷ D : 3

3. Il limite

xlim!0⁺

2⇥

ln(1 + 2x²) x arctan(2x)⇤ + 4x⁴ sinh(2x) sin(2x)

vale

Risp.: A : 0 B : ²₃ C : 3 D : +1

4. Siano ↵ > 0 e f :R ! R data da

f (x) = 8<

:

arctan⇣

x^{2 ↵}₃ ^1x⌘

se x6= 0

0 se x = 0.

Allora in x0 = 0

Risp.: A : f ammette un punto di salto se ↵6= 3 ed ammette un punto di cuspide per ↵ = 3 B : f ammette un punto a tangente verticale per ogni ↵ C : f ammette un punto di salto se ↵ > 3 ed un punto angoloso per ↵ 3 D : f ammette un punto di salto se ↵ 6= 3 ed `e derivabile per ↵ = 3

5. Sia ↵2 R. La serie

+1

X

n=1

3↵ cos p8¹

p n

n + arctan(7n)

Risp.: A : converge se e solo se ↵ = ¹₃ B : diverge per ogni ↵ C : converge se e solo se

↵6= ¹₃ D : converge se e solo se ↵ > ¹₃

6. L’integrale

Z ^⇡₃

⇡ 3

[cos³(x) sin³(x)] dx vale

Risp.: A : 2 sin ^⇡₃ B : 0 C : 2 sin ^⇡_{3 3}²sin^{3 ⇡}₃ D : cos^{3 ⇡}₃

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ y = sin(2x) y(0) = 4

y⁰(0) = ²₅ Allora lim_x!+1e ^xy(x) vale˜

Risp.: A : 2 B : 2e C : non esiste D : cos 4

8. Sia data la funzione f :R \ {0} ! R definita da

f (x) = x 2 +|x|

e^x1 Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) f ammette asintoti verticali V F

(b) y = 2x 2 `e asintoto obliquo di f a +1 V F (c) f ammette asintoto orizzontale a 1 V F (d) lim_x!0⁺f⁰(x) = 1 V F

(e) x = ^{p5 1}₂ `e punto di minimo locale V F

(f) L’equazione f (x) = 7 non ammette soluzioni V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.