Analisi Matematica 1 7 settembre 2016 COMPITO 1 1. L’insieme dei numeri complessi z 2 C con Im(z)

Analisi Matematica 1 7 settembre 2016 COMPITO 1

1. L’insieme dei numeri complessi z2 C con Im(z) 0 e tali che

|z + 2|²+ Re (z i)² = 3

`e dato da

Risp.: A : una circonferenza B : un arco di circonferenza C : una retta D : un arco di parabola

2. Sia ↵ 0. Il limite

nlim!1

✓1

2nⁿ¹ +sin(n!) n

◆ p1 + n²+ 7n^↵ n ln(1 + eⁿ⁺²) ⁿ₂ esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ 3 B : ↵  2 C : ↵ < 2 D : ↵ < 3

3. Il limite

xlim!0⁺

(1 + sin x)^7x sin x ¹₂sin(2x) x²tan x + e ^1x vale

Risp.: A : ^e₂⁷ B : ¹₂ C : e⁷ D : +1

4. Sia ↵ 1. La serie

X1 n=1

(n + 2)! + eⁿ (n! + n²)(n^↵+1+ arctan¹_n) converge se e solo se

Risp.: A : ↵ > 2 B : ↵ 2 C : ↵ > 0 D : ↵ 0

5. Sia f :R ! R la funzione data da f (x) =

Z x 1

e^2t

1 + sin²(⇡t)dt.

Allora la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x = 1 ha equazione Risp.: A : y = e²+ e²(x 1) B : y = 0 C : y = e²(x 1) D : y = 2e²(x 1)

6. L’integrale

Z 1 0

p dx 2 +p

x vale

Risp.: A : 2⇥₂

33^3/2 4· 3^1/2+⁴₃2^3/2⇤

B : 2⇥₂

33^3/2 4· 3^1/2⇤

C : p¹

2+1 D : ²₃3^3/2+⁴₃2^3/2

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8<

: y⁰=

✓↵ x

2x 1 + x²

◆ y y(1) = ³₂.

Allora limx!+1y(x) vale˜

Risp.: A : 3 se ↵ 2, +1 se ↵ < 2 B : 0 se ↵ < 2, 3 se ↵ = 2, +1 se ↵ > 2 C : 0 se

↵ 2, +1 se ↵ > 2 D : 0 se ↵ < 2, 3 se ↵ = 2, 4 se ↵ > 2

8. Sia data la funzione

f (x) = |3 x|

3 x

✓ 1

ln(x 1)+ 3 x

◆ . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =]1, +1[\{2, 3} V F (b) lim_x!3±f (x) =⌥_{ln 2}¹ V F

(c) y = x + 3 `e asintoto obliquo per x! +1 V F (d) f `e decrescente su ]2, 3[ V F

(e) x = 2 + e ²`e punto di flesso V F (f) f (]2, +1[\dom(f)) =] ln 2¹ , +1[ V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.