Analisi Matematica 1 31 Agosto 2015 COMPITO 1 1. Sia A l’insieme dei numeri complessi z 2 C tali che, detto w = z⇣p2e

Analisi Matematica 1 31 Agosto 2015 COMPITO 1

1. Sia A l’insieme dei numeri complessi z 2 C tali che, detto w = z⇣p

2e ^i⇡4 3¯z⌘

Re(z)⇣

e^p32i⇡ i⌘

3Im(z)Re(iz), si ha Re(w) 0 e Im(w) 3. L’area di A vale

Risp.: A : 4 B : 2⇡ C : 6 D : 3⇡

2. Il limite

n!+1lim

cosh _n^n!7n cos _n^n!7n

1 + log⇣

1 +_(n+1)^(n+1)!7n+1

⌘ exp⇣ _(n+1)!

(n+1)⁷ⁿ⁺¹

⌘

vale

Risp.: A : e⁷ B : e⁷ C : 1 D : e¹⁴

3. Sia ↵2 R. La serie

+1

X

n=2

n^↵ log²n

✓1 n sin

✓1 n

◆◆2

converge se e solo se

Risp.: A : ↵ 6 B : ↵  5 C : ↵ < 5 D : ↵ < 6

4. Il limite lim

x!+1

log 2x + arctan(7x) log(2x)

1 x

sin(2x) x²

vale

Risp.: A : ^⇡₄ B : 0 C : 1 D : ^⇡₄

5. Si consideri la funzione f :R ! R data da

f (x) = x³ 5x.

Relativamente all’intervallo [0,p

5], il punto che soddisfa alla conclusione del teorema di Rolle

`e

Risp.: A :q

5

2 B : non `e applicabile il teorema di Rolle C :q

5

3 D : 0

6. L’integrale

Z ⇡/4 0

(tan x)¹² 1

cos²x dx vale Risp.: A : ¹₃ B : ¹₃ C : ¹₂ D : ²₃

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰= _3+cos^sin(2x)2x(1 + e ^y) y ^⇡₂ = log 2 .

Allora ˜y(⇡) vale

Risp.: A : log 2 B : ^p₂³log 3 C : 0 D : log 3

8. Sia data la funzione

f (x) =p³

log x 3 1

3|log x 3| Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R V F

(b) lim_x!+1f (x) = 1 V F

(c) f non ammette asintoto obliquo per x! +1 V F (d) x = e³`e un punto di cuspide V F

(e) x = e⁴`e un punto di flesso V F

(f) L’immagine dell’intervallo [e³, +1[ `e data da ⇤ 1,²₃⇤

V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.