Analisi Matematica 1 22 Marzo 2016 COMPITO 1 1. Il luogo geometrico A dei punti z 2 C tali che (Re[¯z(z + i)]  2 , Imz

Analisi Matematica 1 22 Marzo 2016 COMPITO 1

1. Il luogo geometrico A dei punti z2 C tali che

(Re[¯z(z + i)] 2 , Imz Rez ¹₂.

`e dato da

Risp.: A : un semicerchio B : una circonferenza C : una retta D : un semipiano

2. Il limite

nlim!1

2 tan_n!¹ sin_n!¹ ln²[e^n!+ 1]

1 +_n!^{1 n!+2}_n! ² vale

Risp.: A : 1 B : ^p₃² C : ¹₃ D : ¹₃

3. Sia ↵2 R. Il limite

xlim!0⁺

cos x e^x+ x^7↵

arctan²(sin x) esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ = ¹₇ B : ↵ = 7 C : ↵ = ¹₇ D : 8↵.

4. Sia ↵ 0. La serie

X1 n=1

sin 1 n² +

r

1 n sin1 n

!2↵

converge se e solo se

Risp.: A : converge per ↵ > ¹₄ B : converge per ↵ < ¹₂ C : converge per ↵ > ¹₂ D : converge per ↵ < ¹₄

5. Sia data la funzione f (x) = x 2. Il punto dato dal teorema della media sull’intervallo [0, 3] `e Risp.: A : 3 B : <sup>3</sup><sub>2</sub> C : 2 D : il teorema della media non `e applicabile

6. L’integrale

Z ⇡/4 0

sin²(2x) cos(2x)e^sin(2x)dx vale

Risp.: A : ^e₂ B : ¹₂ C : e 2 D : ^{e 2}₂

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy (y⁰ =⇣

1

x+2 +_(1+x2) arctan x¹

⌘y

y(1) = ³₄⇡ . Allora lim_x!+1^y(x)˜_x+1 vale

Risp.: A : +1 B : 0 C : ^⇡₂ D : ¹₂

8. Sia data la funzione

f (x) = 12e ^x x + 2 ln|e^x 2| . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {ln 2}. V F (b) lim_{x!ln 2}f (x) = +1 V F

(c) y = x non `e asintoto obliquo per x! +1. V F (d) f⁰(1) = ^e2_{e(e 2)}^10e+24 V F

(e) x = ln 4 `e punto di minimo relativo V F (f) f ([0, ln 4]\ dom(f)) =] 1, 12] V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.