Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Foglio 6. (4–8 giugno 2007)

Esercizio 1. a) Lancio una moneta 100 volte, ottenendo 41 teste. Posso conclud- ere, all’1% di significativit`a, che la moneta `e truccata? Si calcoli il p-value. [Il p-value vale 2(1 − Φ 

(0.41 − 0.5) · 2 ·√ 100


= 2(1 − Φ(1.8)) ≈ 0.07, quindi H₀ : p = 0.5 `e rifiutata all’1%.]

b) Lancio una moneta 1000 volte, ottenendo 545 teste. Posso concludere, all’1%

di significativit`a, che la moneta `e truccata? Si calcoli il p-value. [Il p-value vale 2(1 − Φ 

(0.545 − 0.5) · 2 ·√ 1000


= 2(1 − Φ(2.846)) ≈ 0.004, quindi H₀ : p = 0.5 `e rifiutata all’1%.]

c) Si determini l’intervallo di confidenza bilatero per p di livello 99%, e si confronti il risultato ottenuto con la risposta data al punto precedente.

Esercizio 2. Si misura la quantit`a di N O2 presente nell’aria di Padova, facendo 8 rilevazioni in diverse zone della citt`a e ottenendo un valore medio campionario pari a x = 115µg/m³ e una deviazione standard campionaria pari a s_x = 17µg/m³. Si misura la stessa sostanza a Milano, facendo 13 rilevazioni e ottenendo un val- ore medio campionario pari a x = 101µg/m³ e una deviazione standard campi- onaria pari a s_y = 14µg/m³. Al 5% di significativit`a, si pu`o concludere che il val- ore medio di N O₂ presente a Padova sia maggiore di quello presente a Milano?

[Dato che ^s_s^2x2

y ∈ (0.5, 2) posso applicare il test nell’ipotesi di varianze uguali. Si ha s²_p = ^{7·(17)2+12·(14)}₁₉ ² = 230.2632 per cui t = ^{√ 115−101}

230.2632·√

1/8+1/13 = _6.82¹⁴ ≈ 2.05. Dato che t_19,0.05= 1.73, H₀ : µ_x ≤ µ_y `e rifiutata al 5%.]

Esercizio 3. Si teme che la somministrazione di un farmaco abbia come effetto indesiderato l’aumento della pressione sanguigna sistolica. Si prendono in consider- azione 6 individui e si misura su ciascuno il valore della pressione sanguigna prima e dopo l’assunzione del farmaco, ottenendo i seguenti valori:

Paziente Prima Dopo

1 134 140

2 132 135

3 130 126

4 118 124

5 127 126

6 142 144

1

2

Si pu`o concludere, al 5% di significativit`a, che il farmaco abbia davvero l’effetto collaterale temuto?

[Le differenze tra i valori della pressione dopo e prima della somministrazione valgono:

6 3 − 4 6 − 1 2 .

Media e varianza di questi dati valgono x = 2 e s² = 15.6. L’ipotesi nulla H₀ : µ ≤ 0 viene rifiutata al 5% se t > t_5,0.05. Dato che t = _s/^x√₆ ≈ 1.24 mentre t_5,0.05 = 2.015, H₀ `e accettata al 5%.]

Esercizio 4. I seguenti dati indicano la risposta di uno strumento a un segnale in ingresso:

Ingresso x Uscita y

6 9.3

10 15.4

12 18.1

18 24.1

20 25.3

a) Si stimino i coefficienti a, b, σ² del modello di regressione lineare y = a + bx + e con e ∼ N (0, σ²) e si disegni la retta di interpolazione. [x = 13.2, y = 18.44, Sxy =P

ixiyi− 5xy = 149.76, Sxx =P

ix²_i− 5x² = 132.8, Syy =P

iy²_i− 5y² = 171.992, da cui b = Sxy/Sxx ≈ 1.13, a = y − bx ≈ 3.55, SSR = (SxxSyy − S_xy² )/S_xx ≈ 3.1, SS_R/3 ≈ 1.03].

b) Si determini l’intervallo di confidenza per b al 95% e al 99%. [Al 95%: 1.13 ± p1.03/132.8 · 3.18 = 1.13 ± 0.28 → [0.85, 1.41]; all’1%: 1.13 ± p1.03/132.8 · 5.84 = 1.13 ± 0.52 → [0.61, 1.65]]

c) I dati permettono di concludere, al 5% di significativit`a, che vi sia dipendenza tra y e x? E all’1%? [S`ı in entrambi i casi, vedi b)]

d) Ritenete che il modello di regressione lineare si adatti bene ai dati? (Si deter- mini il valore di R²) [R² = 1 − 3.1/171.992 ≈ 0.98]