Si mostri che se {An}n∈N è una successione di eventi indipendenti in uno spazio di probabilità (Ω, A, P) si ha P \ n∈N An

Compitino di Calcolo delle Probabilità Cognome:

Laurea Triennale in Matematica 2011/12 Nome:

23 novembre 2011 Email:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Si mostri che se {A_n}_n∈N è una successione di eventi indipendenti in uno spazio di probabilità (Ω, A, P) si ha

P \

n∈N

A_n

!

= Y

n∈N

P(A_n) .

(Il prodotto infinito di una successione di numeri reali positivi {a_n}_n∈Nè definito nel modo seguente:

Y

n∈N

a_n := lim

N →∞

N

Y

n=1

a_n, ammesso naturalmente che il limite esista.)

Soluzione 1. Ponendo B_N :=TN

n=1A_n si ha che B_N ↓T

n∈NA_n, quindi per continuità dall’alto della probabilità

P \

n∈N

A_n

!

= ↓ lim

N →∞P(B_N) . D’altro canto, essendo gli eventi {A_n}_n∈N indipendenti si ha

P(B_N) = P

 N

\

n=1

A_n



=

N

Y

n=1

P(A_n) ,

da cui segue la tesi. (Si noti che l’esistenza del limite è garantita dal fatto che la successione N 7→QN

n=1P(A_n) è decrescente.)

2

Esercizio 2. Fissiamo N ∈ N e consideriamo l’insieme Ω di tutti i sottoinsiemi di {1, . . . , N } che contengono N , ossia

Ω = {ω ⊆ {1, . . . , N } : N ∈ ω} .

(Sottolineiamo che gli elementi di Ω sono sottoinsiemi di {1, . . . , N }.) Muniamo Ω della σ-algebra A di tutte le parti e della probabilità uniforme P: in questo modo (Ω, A, P) è uno spazio di probabilità che descrive l’esperimento aleatorio di scegliere “a caso” un sottoinsieme ω ⊆ {1, . . . , N } che contiene N . Definiamo su Ω la funzione reale L ponendo

L(ω) := min{ω} . (Per intenderci, se ω = {3, 4, 7} si ha L(ω) = 3.)

(a) Si mostri che |Ω| = 2^{N −1}.

(b) Si mostri che L è una variabile aleatoria discreta, la cui densità discreta è data da p_L(`) = 1

2<sup>`</sup>1{1,...,N −1}(`) + 1

2^{N −1}1_{{N }}(`) . (c) Si calcoli E(2^L).

Soluzione 2. (a) L’insieme Ω è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle parti di {1, . . . , N − 1} che ha cardinalità 2^{N −1}.

(b) Per definizione L : Ω → {1, . . . , N } assume un numero finito di valori e {L = `} = L<sup>−1</sup>(`) ∈ A per ogni `, perché A contiene tutte le parti di Ω. Dunque L è una variabile aleatoria discreta.

Fissiamo ora ` ∈ {1, . . . , N − 2} e consideriamo l’evento {L = `}. Ogni ω ∈ {L = `}

è un sottoinsieme di {1, . . . , N } che contiene i punti ` e N e non contiene nessun punto i < `, pertanto si può scrivere ω = {`} ∪ ω<sup>0</sup> ∪ {N } dove ω<sup>0</sup> è un generico sottoinsieme di {` + 1, . . . , N − 1}. La corrispondenza che a ω associa ω⁰ è biunivoca, pertanto si ha

|{L = `}| = |P({` + 1, . . . , N − 1})| = 2<sup>N −`−1</sup> e quindi p<sub>L</sub>(`) = P(L = `) = |{L = `}|

|Ω| = 2^{N −`−1} 2^{N −1} = 1

2<sup>`</sup> per ogni ` ∈ {1, . . . , N − 2} .

Per ` = N − 1 c’è un unico ω ∈ {L = N − 1}, cioè ω = {N − 1, N }; analogamente, per

` = N si ha {L = N } = {{N }}. Pertanto p<sub>L</sub>(`) = P(L = `) = |{L = `}|

|Ω| = 1

2^{N −1} per ` ∈ {N − 1, N } . (c)

E(2^L) = X

`∈{1,...,N }

2<sup>`</sup>pL(`) =

N −1

X

`=1

2^` 1

2^` + 2^N 1

2^{N −1} = (N − 1) + 2 = N + 1 .

3

Esercizio 3. Un lanciatore di giavellotto esegue n ∈ N lanci. Indicando con Xi la distanza ottenuta nell’i-esimo lancio, supponiamo che X₁, . . . , X_n siano variabili aleatorie reali i.i.d. (indipendenti e identicamente distribuite) con X_n∼ Exp(λ), dove λ ∈ (0, ∞). Indichiamo con M_n la massima distanza a cui è stato lanciato il giavellotto e poniamo

Zn := Mn − c λ log n , dove c > 0 è una costante fissata.

(a) Si mostri che Z_n è una variabile aleatoria con funzione di ripartizione F_Zn(t) =



1 −e^−λt n^c

n

1_[−^c

λlog n, ∞)(t) .

(b) Si mostri che il limite F (t) := lim_n→∞F_Zn(t) esiste, e lo si determini, per ogni valore di c > 0 e t ∈ R. Si mostri quindi che c’è un solo valore di c > 0 per cui F è una funzione di ripartizione, e che per tale valore di c la legge associata a F è assolutamente continua.

Soluzione 3. (a) Si ha M_n= max{X₁, . . . , X_n}, pertanto per ogni x ∈ R F_Mn(x) =

n

Y

i=1

F_Xi(x) = F_X1(x)ⁿ = (1 − e^−λx)ⁿ1_[0,∞)(x) . Di conseguenza per ogni t ∈ R

F_Zn(t) = P(Z_n≤ t) = P



M_n≤ t + c λlog n



= F_Mn

 t + c

λlog n

 . Dato che e^{−λ(t+λclog n)}= ^e−λt_nc e 1_[0,∞)(t +_λ^clog n) = 1_[−^c

λlog n,∞)(t), la formula è dimostrata.

(b) Fissiamo c > 0 e t ∈ R. Dato che _λ^clog n → +∞, per n grande si ha 1_[−^c

λlog n,∞)(t) = 1, pertanto F_Zn(t) = (1 − ^e−λt_nc )ⁿ> 0 e ha senso considerarne il logaritmo:

log FZn(t) = n log



1 −e^−λt n^c

 .

Ricordando che log(1 − x) = −x + o(x) = −x(1 + o(1)) per x → 0, (dove o(1) indica una funzione che tende a zero). Si ha dunque per n → ∞

log F_Zn(t) = n



−e^−λt

n^c 1 + o(1)



= −e^−λt

n^c−1 1 + o(1)
, pertanto

F_Zn(t) = exp



−e^−λt 1 + o(1)
n^c−1

 . Si noti che e^−λt> 0, per cui

n→∞lim

e^−λt 1 + o(1)

n^c−1 =







+∞ se 0 < c < 1 e^−λt se c = 1 0 se c > 1

,

quindi

∀t ∈ R ∃ F (t) = lim

n→∞FZn(t) =







0 se 0 < c < 1 exp(−e^−λt) se c = 1

1 se c > 1

.

Per ogni valore di c > 0 la funzione F è crescente e continua. Affinché sia una funzione di ripartizione occorre che F (−∞) = 0 e F (+∞) = 1. Entrambe le condizioni sono verificate solo per c = 1, nel qual caso F (t) è di classe C¹ (anzi C^∞) su tutto R; pertanto, se c = 1, F è la funzione di ripartizione di una legge assolutamente continua.