Preparazione Prova sritta, Ottobre 2006

Preparazione Prova sritta, Ottobre 2006

* --- *

Assiomi re lativi

a

lle

operazioni in N

Assioma 0.1.

(a+

b)+ c= a

+ (b

+c),

(a.b)c

= a.(b.

c) (proprieta

associativa)

Assioma 0.2.

(proprieta commutativa) Assioma 0.3.

a+ b

= b +a,

a.b

= b. a

a+ O = a, a. l

=

a

(esistenza

degli elementi neutri)

A

ssioma 0.4.

a.(b +c)= a.b + a.c (proroprieta distributiva)

Assiomi relativi

all'ordinamento

in

N

Assioma 0.5. a

::::; b oppure b ::::; a (proprieta dicotomia)

Assioma 0.6. a ::::;

b e b ::::; c implica a ::::; c

Assioma 0.7. Se a::::;

b

e

b::::;

a allora a= b Assioma 0.8. Se a

::::; b

allora a+ c ::::;

b

+c

Assioma 0.9. Se O ::::; a e O ::::;

b

allora O ::::; a

+ b e

O ::::; a.b

Assioma 0.10.

(Archimede) Per

ogni m

E N esiste

numero naturale n tale

che

n> rn.

Assiomi relativi alle operazioni in Z Assioma 0.1, Assioma 0.2 , Assioma 0.3, Assioma 0.4

e

Assioma 0.11. Per ogni a

esiste unico elemento indicato con

- a tale

che

a+

(-a)= O

Assiomi

relativi a lle

operazioni

in Ql

A

ssioma

0.1

,

Assioma 0.2

, Assioma

0.3

, ,

Assioma 0

.4, Assioma

0.13

e

Assioma

0.12.

Per

ogni a i O

esiste 1mico elemento ind·icato con a-¹ tale che

a.u

-¹ = l

A

ss

iomi relativi

a

lle

operazioni

in lR

Assioma 0

.1,

Assioma 0.2

,

Assioma 0.3

, Assioma

0.4, Axiom

a

0.12 r Assioma 0.13.

(Coll

ljJ/efe::;za) S

e A e

n

^S0'/1() sottoinsiemi

di

lR

tali

che

(l)

u , < - b. 1:/o

E A Vb E

n

alLora esiste c E lR che sepam A e

B.

cio e·

a ::::;

c::::; b. Va

E A Vb E

B.

2

Operazioni con numeri reali

x1n

- =

xm-n.x E m?..

m::;> n E N.

xn ' '

xmyrn =

(xy)m,x,y E m?.,

m, n

E N.

x

-n=

x~'

^,

^x

^E m?.\ O,

n

E N, x 0

= l per x> O

. x m

xmxn

=

xm+n. -

= xm-nx >

O. m. n E Z. V'X= y {o}

x =

yn

per

n ::;> 2

pari x

::;> O.

l xn ^{j '}

y'X =

y B x= yn

per

n

>

2

dispari x

E ffi?..

xP = xm/n = vXm. ^x-m/n =

_ l_ p= m/n E rn

- ' xm/n ^'-',!

x y P P -- (xy) P

,x,

y

> O,

p E Q. -x P -- (x -

P)

x,y

> O ,

p E Q.

yP yP

(2) lxi= {

x,

- x,

se x::;> O ; alt rimenti.

~ =l x i, ~ =x

, ²

V:;;2k =lx ix

^E

R

a

]i_

d c

ad be

Problema O. l. Determinare il minimo, il massimo,

l'fostremo inferiore e l'estremo

superiore

(se esistono)

degli

insiemi

{x

E m?. :

lx

²

+ li < lx - 3 1 - 1} {x

E m?.:

lx

²

1 <lx - ~~ - 1} .

Pro,blema 0.2. Det

erminare il minimo, il massimo,

l'estremo inferiore e l'estremo

superiore

(se

esistono)

degli insiemi

{x E m?. :

lx

^{2 -}

l i < l x + 3 1 -

2} {

~ ^{+ sin (}

^(2m

⁺ l )~ ) ^{: n}

^{, m ::;>}

^l

^{E N}.}

Problema 0.3. D

eterminare il minimo

, il massimo, l 'est·remo inferiore

e l 'estremo

super-iore

(se esistono)

degli

insiemi

{x

E m?.: 4

> Il - x li l + :rl +(l - x)

^2} _{

_2n

¹ _2n-

_cos(mrr)

¹ : n, Tn ::;> l E

N } .

Problema 0.4.

Trovare

l 'intersezione A

n

^B

^dove

A =

{x

E m?.:

x

⁴

+ lx - 3 1 = sin (::r ~)}

e B = {x E m?.:

l x i

::C:

2}.

Problema 0.5. Trovare l·estremo super-ùJre.

l"estremo

inferùJTe. il massimo e il minimo

di A n

^B

^do

^ve

and

B = Z.

Problema 0.6.

Trovare l'es tr-emo s' uperiore, l'estremo

in.fério·re. il

massimo

e il minimo

di A n ^{B dove}

A= {x

E

lR:: x

²

+

lx - li< 2}

and B

=Q.

Problema O. 7. Trovare

l

'estremo superiore,

l

'estremo inferiore, il

massimo e il minimo di

A

n

^B

^dove

A = {x

E lR:: l

x

- li

+

l

x+ 21 :S:

2lx-

31}

and B =Q.

Problema 0.8.

Trovare l'estremo superiore, l'estremo

inferiore,

il massimo e il minimo di tutti ;;

E

lR: tale che esiste y

E

lR:

tale

che

lx+

Yl + Y :S: 2.

l. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

sin( et

+

(3)

=

sin et cos (3

+

cos et sin (3, cos(et +

(3) =

cosncos/3

-

sinnsin/3,

sin

²

et+ cos

²

et

= l.

sin(

-

et)

= -

sinn, cos(

-

et)

=cosn,tan(-et) = -

tanet.

sin( et+ 211')

=

sin et, cos( et+ 211') = cos et

, t

an( et

+

1r) =

t

an et, co t( et

+

1r)

=

co t et.

sin(1r-et)

= sinet,

cos(1r-et) =

-

cosn,sin(1r+et)

= -

sinet, cos(1r+n) =

-

coset, sin ( ~

^-

^et)

⁼

cos et, cos

(

~

^-

^et)

⁼

sin et, sin ( ~ ^{+ et)}

⁼

cos et, cos

(

~ ^{+ et)}

^{= -}

^{sin et,}

Per

O< et< 1r

sinet <et

e

sin et

- -

_Q

>

_- ^COSQ.

Formule di duplicazione

sin(2et)

=

2 sin et cos et

,

cos 2et

=

cos

² a-

sin

²

et.

Formule

di bisezione

. 2 ')

Sll1 Q = l -

cos2et

2 cos- et=

l +

cos2n

2

Formule di

vVerner

.

(3 sin(et+/3)+sin(et- ,8) . . . (3 - cos(n+.B)+cos(n-(3)

s1n et cos

= . sm et sm = _ _ _;__ _ ____; _ _ __;, _ _ ...,;,_

2 2

, . '3 _ cos(o + ;3) +

cos

(et- /3)

cos ^Q

c os .

-

2 .

Formule 0

li

prostaferesi

sin u+sin (3 =

2 sin

( ⁰ ; '

3) cos

(

⁰ ; (3

)

. cos u+cos :3 =

2 cos (

⁰ ;

13

) cos

(et ; ,3 )

.

.

.

( o:- (3) (a+(3) sm a -

sm / 3

=

2

sm -

2

-. -

cos

-

2

-

cos a

-

cos (3 =

-

2 sin ( a ;

(3)

sin ( a ;

·

6 ) Definizione delle funzioni tan e cot,

sm

a

cosa

tan a=

- -,

coto: =

-- -.

cosa sm a

Espressione di sin

,

cos mediante tan, cot e viceversa tana

sino:=±

,

V l + tan2 a

cosa

=

±

l ,

V l + tan2 a

l

sin o:

tana=-- =±;==~=

coto: J l

-

sin2o:

'

(

(3)

t an a + t an

(3

tana+

=

.

l -

tan a

tan (3 ·

(

(3)

-

l

+ cot

a

co t (3

cot

a+

=

,

cot a+ cot(3

sin

a =

± r:======;;==

l

V l + cot 2

a

coto:

cosa = ± r :======;;==

V l + cot2

a

l

Vl - ^cos2

^a

tan a=

- -=

± .

cot a

cosa ·

(

(3)

t an a

-

t an (3

tana

- =

.

l

+ t an a t an (3 · cot(o:

_ (3) =

l + coto:cot(3

,

-

co t a + co t (3 arcsinx =

a, x E

[- 1,

l

]

{o}

sino:

= x a E

[-7r/2,71-j2],

a

rccos x = a, x E

[- l , l ]

^{o}

cos a

= x a E

[O , 1r], arctanx =

a, x E

(- oo,oo)

{o}

tana= x a

E [-

7r/2,7r/2],

sin x= sin xo

{o} x= xo +

2k7r, 1r

- x₀

+ 2k7r, cosx =

cosx₀ {o} x= ±x₀

+

2k7r

, tan x

=

tanxo

{o} x= x0

+

k1r,

Problema 1.1. Verificare le seguente indentita'

sin(1r

-

o:)= sin o:, cos(1r-

a)= -

cosa, tan(1r

-

o:)

= -

tana

,

sin (1r+o:) =

-

sino:, cos(1r+o:) = - cosa, tan(1r+o:)

=

tano:

,

sin(JT/2

-

o:)= coso:, cos(JT/2

-

o:)

=

sino:, tan(JT/2

-

o:)= coto:.

Problema 1.2. Verificare le seguente indentita'

cos

² a- sin² a = cos(2o:),

sin(3o:) sin (2o:)

= l

2 ^{(coso:- cos3o:)}

sin( o:+ (3

) t

an a +

t

an (3 =

(3

cos

^Q

cos

Problema 1.3. CalcolaTe cos(2n) se sin a= J2-

/3/ 2.

Risp. ±/3/2.

Problema 1.4. Dimostm:re che

...

sin o

. cos(o + ,1) = sin;J ^==}

tan

(o +

r3)

=

2 tan

G:

sin(2o +

;3)

=

5 sin

(-] ^==}

2 tan

(o + 3) =

3 tan o:.

Problema 1.5. Semplificar·e

le espressioni

a)

(sin a

+ cosa)

²

l +

sin(2a)

b)Vsin

²

a (l+ cota) + cos

² a

(l+ tana), (7r

<a< 37f/2). Risp.

a)

l;

b)

-sina-cosa.

Problema 1.6. Dimostrare le

identita'

sin⁶

a+ cos

⁶ a+ 3 sin²

a cos

²

a

= l

2

² (3

cos(a +

(3). cos(a-(3) l -

co

t a

co

t = - ---'---;;-'---,;'-:----'-

sin2 a sin2 (3 sin( a-

(3)

sin((J

- 1) sin(r-

a)

_..:....__...:, + +

= O.

cos

^Q

cos (3 così cos (3 cos

^Q

così

Problema

l.

7. Per quali

valori

del parametro a valgono le relazioni a)sin(Jr- a)= sin a,

b) sin a=

\h - cos

² a,

c) }l+ sin(2a)

=sin a+ cosa.

Problema 1.8. Dimostrare che

l'identita a+ (3

+

ì

= Jr/2 implica

cos

^Q

+ cos (3 + cos ì

=

4 cos

(

~

^-

~) ^cos

⁽

~

^-

~) ^{cos (} ~

^-

~)

^.

Problema 1.9. Trovare

tutti x E lR

tale che

l+

cos

²

x

> 2 . l + sin x Problema 1.10. Trovare

tutti x E lR

tale che

Problema 1.11. Trovare

tutti x E lR

tale che

l sin x

+ cos x

l

<

l.

Problema 1.12. Dimostrare l'identita

'

l sin 5x/2

- + cos

J:

+

cos 2x = ( / )

2 2 sin

x

2

Problema 1.13. Dimostrare che

z

+ -

l =

2 cosO'

z

., l ( ) "1

z

+ -

=

2 cos na Vn

E ~~.

zn Problema 1.14.

Trovare

tutti x

tali che

a) sin 5x = cos 2x.

b) sin(2:r)

+ t

an

x =

2.

l l l

c)-.- + - - + .

= 5.

sm A cos x sm .r cos x

d) tan(7r tan

x) = cot(Jrcotx).

e)

sin¹⁷

. x +

cos^{1 7}

x=

l.

6

2. FUNZIONI exp E

log .

La funzione esponenziale f(x)

= a"'

dove

a>

O

, a#

l

e

definita per ogni x

E !R.

Proprieta'

a x a"'> 0, axbx = (ab)x, a⁰ = l, ao:+y = axay, ax-y = -

aY

Defini

zione

:

loga be'

defi nito per

a

> O

, a#

l

, e b

> O.

loga b

=

c<::? a c

=

b.

Proprieta' :

-x l ( x)y x·y

a = - a =a

ax'

loga

(b1.b2)

= loga

b1 +

^loga

b2,

a

> O

, a#

l

, b1, b2

> O

, loga(bd) = dloga b, a>

O,

a#

l ,

b

> O ,

d E

!R.

logA b logab= -

1 - -

, a, A>

O ,

a# l, A#

l,b > O.

ogA a

Problema 2.1. Risolvere le seguente equazioni

b) - ~ ^{+ log}

^x(5J5)

^{= (1ogx2 J5f}

c) x,;x = #x.

3. NUMERI COMPLESSI

L 'equazione x

²

+ l

=

O non puo' avere soluzioni reali dato che non ha senso (nel campo dei numeri reali ) considerare ;=T. Tuttavia l'equazione scritta so- pra ha soluzione se ampliamo l' insiem e dei numeri reali con l'aggiunta dell

'unit

a' immaginaria i

=

;=T che gode della propri eta'

(3) '

Una volta introdotta l'unita' immaginaria si defini

sce insieme

dei numeri comp- lessi

C = {z

=x+iy,x,y E

R}.

Se

z = x+ iy con x, y E R, allora x ed y si chiamano

ripettivamente parte reale

e

parte immaginaria del numero complesso

z e

si indicano con

Re z ed Im z.

La somm a e la moltiplicazione tr a numeri complessi segue le

stesse

regole dell

a

moltiplicazione tra num

eri

reali

,

tenendo conto del fat to che per l'unit a' immagi- naria

i

vale la regola

(3). Quindi

x+ iy +x'+ iy' = (x+ x')+ i(y

+

^y')

(x+ iy)(x'

+

iy') =xx:'+ ixy'

+

ix'y

+

i²yy' = (xx:' - yy')

+

i(xy'

+

x'y).

Dato

z = x

+

iy si definisce

z

^=x-iy

e

izl2 = x2+y2

Si puo

· anche

definire il rapJ)orto tra numeri

complessi come segue:

z z'iD

(notare che il seco ndo membro ha senso visto che la moltiplicazione dei tre numeri

z,

w. rzF ^{si puo'} fare seguendo la regola eli prodotto des critta sopra).

Ogni numero complesso

z = x+ iy

c· individuato da due numeri reali (la parte reale e la parte immaginaria). Pertanto i numeri comp lessi possono essere individ- uat i da un punto nel piano cart esiano x -y . D'altra parte ogni punto (x , y) del pia no puo' essere individu ato in coordinate p olari dalla distanza del punto dall

'origine p

e dall 'angolo e formato tra l'asse delle x e la semiretta passante per il punto (x.y)

e

l'origine.

Pertanto se (x,y)

=

(pcose

,

p sine) (osservare che e ^{e' definito a meno eli un}

multiplo intero eli 21T) allora

x+ iy

=

^{p(cose +}

^{i sin e}

).

Una notazione utile e'

ew =cose+

i sin e

,

e pertanto ogni numero complesso x + iy si puo' sempre esprimere in coordinate polari ed in forma compatta come segue:

x+ iy = peiO

dove e ^{definito a meno di} 2k1T con

k E

Z.

Inoltre si ha che (4)

(vedi esercizio

(3.6)).

Un numero complesso z' si dice essere una radice n-esima del numero complesso

z

se

z'n = z

.

In partico lare se

z

= pei(0+

²k-rr)

e z' = p'

eiO'

e' un a radice n- esima eli

z allora si

ha per defini zione che

dove abbiamo usato (4).

In particolare si ha che le rad ici n-esime eli z

= peiO sono

tutti

e

soli i numeri complessi del tipo

p'

e iO' dove

p' =

\fP ^e e'

⁼

*

^{+ ~;}

^{1T per qualche}

^{k E Z.}

Esempio Calcolare J=I. Osserviamo che in base a ll' interpretazione geometrica dei numeri complessi si ha che

- 1 =

e

i(

"+

²k7r)

con

k E

Z e quindi tutte le rad ici eli

- 1

sono del tipo

eiCf+krr)

con

k E

Z.

Data la perioclicita' eli ei

⁰

si ha che le uni che radici dist inte eli

-

1 possono essere indi vidu ate dai numeri

eif

e ei7r~ che possono essere scritte in coordinate cartesiane come i e

- i.

Proble ma 3.1.

Provare che

JzJ

² = z.z per ogni numem z E

C .

Proble ma 3.2.

Dati i numeri complessi z = x+ iy e w = x' +

iy'

(w si suppone diverso dal numem complesso nullo) esprimere la parte reale e la parte immaginaria

di~.

·w

Proble ma 3.3.

Provare che

Jz + w J ::; J : J + ltc l ._

per ogni coppia e di nwne7'i z. w E C.

Problema 3.4.

Dato il mtrnem complesso z = peiO calcolare

J zJ

²

8

Problema 3.5. Dati

z =

peie e

z' =

p'

e w' esprimere in coordinate

polari

i numeri z.z¹ e?·

Problema 3.6. Esprimere

in coordinate

polari

il numero zn

do

ve z =

peie.

Problema 3. 7. Provare

che

ogni

numero complesso z

diverso da

zero,

ammette esattamente n mdici n-esime distinte.

Problema 3.8. Calcolare \l'i, \1/3

+i, .ç/3

+

3i .

Problema 3.9. Trovare tutti

i

numeri complessi tali

che

Z⁷¹

==

^z.

Problema 3.10. Trovare tutti

i

numeri complessi

tali

che

Problema 3.11. Esrpimere

in coor·dinate polari il numero complesso l

+ cos e +

i

sin e.

Problema 3.12. Rappresentare gmficamnete il seguente sottoinsieme di

C:

{lz- l i = lz + l i, z E C}.

Problema 3.13.

Rappresentare gmficamnete ils eguente

sottoinsieme di

C:

{z +z = lz l 2 ,z EC}.

4.

INDUZIONE E DISUGUAGLIANZE

Problema 4.1.

Per

ogni

natumle n

2: l

e

per ogni numero reale x 2:

-

l

vale

la disequazione di

Bemoulli

(l+ x

t ^{2: l+ nx.}

Problema 4.2.

Dimostmre

l'identitri

3 3 3

n2(n + l )2

l + 2 + · · · +

n

= -'----:---''-

4

Problema 4.3.

Dimostmre

le

seguente identitri

l l l

l

- + - + ··· + =

1- - - .

1.2 2.3 n(n + l ) n+l '

l

l l 1(1 ^l

⁾

1.2.3 + 2.3.4 + ··· + n(n+ l )(n+ 2) = 2 1.2 - (n +l )(n+2) ·

Problema 4.4. Dimostmre che

sin a+ sin ( a+ h )+ ... + sin (cr +(n, - l )h) = sin(nh/ 2) sini

_sm

a; _{h 2} ^{)(n- l )h/ 2) '}

. . . . ·( (· _ .) ) _ sin(nh/ 2) cos(a + (n - l )h/ 2) cosa+ , cos(a + h)+ +cosa +

n

l

h - . ( / ) ·

.._ sm h 2

sin cr + sin(3cr)+ +sin ((2n- l )a) ( )

---,-,--,---:-:-,...---',---':- = tau

ncr .

cosct + cos(: ìa ) + · · · + cos ((2n - l )a )

Problema 4.5. Sia a11 la successione di Fibonacci definita cosi a₀ = a1 = l,

Dimostrare che

an+2 = ao

+

^{a1 +···+an+ l,}

02n+2 = a1

+

^a3

+ · · · +

^0211+1, a2n+

1

= l

+

^a2

+

a4

+ · · · +

a2n,

a~ -On+lan-l

= ( - 1)" +

¹.

Problema 4.6. Dimostrare le seguente identita:

x²n+l

- l = (x - l) fi

^{(x2- 2xcos}

^c~k:

^l)+

^{l) '}

k=l

x^{2n + l -}

l= (x+ l) IT

^(x2

⁺

^2xcos

^{(~) + 1) ,}

k=l 2n

+

l

x²¹¹

+ l = g

^{(x2- 2xcos}

^c

²

^{k~l)7r) + l) .}

Problema 4.7. Dimostrare le seguente identita:

sin(~)

_2n ^{sin (}

27r)

_2n ^···sin

((n -

_2n

l)1r)

COS

( ~

_2n

₊

_l

)

^COS

( ~

_2n

₊

_l

)

^···COS

( ~

_2n

₊

_l

)

4.1. Disuguaglianze.

(5) '

(6)

a+ b f""7

a, b

>

O =? -

2-

2

v ab a+b

~2 + b2

ab>O=? - - < - - -

' 2 - 2

Per ogni n naturale abbiamo (7)

Disuguaglianza Young: se a, b

>

O e

allora

l l

- + - = 1

p q

aP b"

- + - >ab.

p q -

2n-l'

Problema 4.8 (Disuguaglianza di Cauchv-Schwarz). Prova per ind-uzione che.

dati n E !;l e O i. bi E lR per i= l. 2 ... n. vale la dis·uguaglia.nza

10

Sia n

E f::! e

siano x

1, x2, . . .. X₁₁

numeri reali positivi. Definiamo

la

media geo- metrica xc (GM, geometrie m

ean) e la

media aritmetica

XA

(A.l\1

, arithmetic mean)

come segue

:

_ . X]

+

X2

+ · · · +

Xn XA

= ---

n

La media geometrica risulta sempre minore o uguale di quella

aritmetica,

con

l'uguaglianza solo

se

_{x 1}

=

x2

= · · · =

Xn·

Problema 4.9 (Disuguaglianza GM-

AM)

. Dimostra

che, nelle ipotesi di cui sopra,

( )l/n<xl+x2+···+Xn

X1X2···Xn _ ,

n

dove si ha

uguaglianza se

e

solo se

x1

=

x2

= · · · =

X n.

Completa i dettagli della seguente dimostrazione per induzione. Vogliamo di- mostrare che per ogni n

E

f::! vale l' enunciato

P( ) _ (

)l /n<

_x_l _+_x_·2_+_·_·_· +_ x_n {

x; E

R+ i= l

, 2, .

.

. , n,

n - X1X2· ··Xn _ ,

n

con uguaglianza se e solo se x

1

= x

2

= · · · =

Xn·

P

er n = l, 2 si verifica facilmente.

Per il passo induttivo

, poniamo X]+···+ X

A _:_

n

n - '

n

A~ Xn+l +(n-

l)An+l.

n

,

G = · (

Xn+l

A"

n+

- 1)1

l

/n

·

Per ipotesi induttiva, risulta A

~ G.

Inoltre

A_n+l .

=

A,+ A

>

(A

A)l /2 > (G

G)112

= (cn+l An - l) l /(2n) .

2 - n _ n

n+l n+l ,

da cui

An+ l ~ Gn+l·

Nota che tutte le disuguaglianze (contemporaneamente) sono uguaglianze se e solo se x

1

= · · · =

Xn+l·

Problema 4.10. Provare

che

la

seguente disuguaglianza

e' valida

per ogni numero naturale n

~

2:

. l l l

n[(n+ 1)

¹1"

- l] < l + - + - + · · ·+ - < n- (n - l )n-l/(n- l )_

2 3 n

Problema 4.11.

Siano a

, b,

c E R+ tali che (l +a)( l +b)( l +c)

=

8. Allora abc <::: l.

Problema 4.12.

Se a, b, c

E

R+ , allora

si

ha

(a

²b

+ b

²

c + c

²

a)(a2c +

b²

a + c2b)

~

9a

²

b2c

²

Problema 4.13.

(a)

Dati

due

numeri reali

distinti a.

b ~

O e

n E f::!

provare che

vale la

disuguaglianza

" _, _ a +

nb

(ob )u+¹

< - - .

17

+

l

(b)

Poni a=

^{l e b = l + :cjn. ~on .r > -} n diver-so da

O.

e dim

ostm

che

X n ( X ) n+ l

( l+ -

) <

l

+ _ · · _

n 77 + l ^{Vn E N.}

)

(c)

Poni a.= l, b =

m/(m

+ l) e n=

m+

l e dimostro che

(

1 ) m+1 ( l ) m+2

l + -

> 1+

- -

m m+

l "'mE N.

5. LIMITI NOTEVOLI

Se

^On e

limitat

a e ^{bn _,}

O

allora ^onbn ->

O.

(8)

(9) (lO)

(11) (12)

(13)

(14)

(15) Confronti:

(16)

(17)

(18)

Se

allora

(19)

{ o

n +oo

q _,

se

lql < l

,

se

q> l

~on ^{ha limite}

^se

^seq

^{q= :S:-l,}

^1.

O n ->

O

=? COS O n ___,

l

,

On --->

O

=?

sin

^On --->

O

,

sin On

an --->

O

=? - -___, l,

O n

arcsin

^On

O n ___,

O

=? ___, l 1

O n

(l + an)" - 1 ·

On ___,

O

=? ___, O.

O n

log

₈ On

a11 ___, oo =? - -A- ___,

O

't/A>

O

, VB > l.

a.,

{ o

lim

o,= oc

n - x

no si puo dir

e nulla

se A < l.

se A > l.

se A= l.

11

12

Problema 5.1.

Calcolare a)

b)

c)

d)

e)

lim

(n+

3ynsin n)¹1⁴ -

(n+

ynsin n)¹1⁴. n---o ::c

sin

(l)

lim n

n~oo n(cos (*) -

l)

.

l. vn² +n+l - ~

llll

n~= log2 n

12

+ 22 + .. .

n2

li m

n---+oo

lim cosn"

( ~ )

^.

n---+oo n

Problema 5.2.

Studiare la convergenza della successione

l l

an

= l + - + · · · + - - In n.

2

n

Problema 5.3.

Problema 5.4.

Studiare la convergenza della successione

l l l

an=- + - - + .. · + - -

n n+ l n+n

Problema 5.5.

Calcolare

lim ( nn (2n)!) l/n

n~= 4n(n- l)'n!(n

+ l )!

Problema 5.6.

Trovare il limite

Problema 5. 7.

Calcolare

Jn3 + n -

n3/2 li m

n~= n+ 6sinn

. ( (n) n )1 /n

hm (2n- l)! .

, ,_=

3"-¹(n + 3)!n!(n +

2)!

Problema 5

.8. Calcolare

sin

(l )

lim ¹¹

n -:x: n ( ^{COS (}

*) - ^l)

Problema 5

.9. Calcolare

...

arcsin

(l)

^sin

(l)

liln ¹¹ "

n - x ( COS (

*) - ^{l) .}

Problema 5.10.

Calcolare

. (n+ l )" - n"'

hm

1/---'>00 no:- l

al variare del parametro T"eale

et.

Problema 5.11.

Calcolare

(n+ sin n)

¹

1" (2 +sin n)n

li

m

n!

Problema 5.12.

Calcolare l'estremo superiore, l'estremo inferiore e il limite della successwne

an=n+ ~ -~-

3n

Problema 5.13.

Sia x

0 = l

e

Xn

e definita per ricorrenza

Xn+l =

xn+sinxn.

a)Dimostrare, che

O

<

Xn

< 7r.

b

) Dimos

traTe che X n

cT"esce.

c)

Calcolare~te di Xn·

Altri esercizi sulle successioni

Problema 5.14.

Trovare il limite della successione an= yn

ln(l

+ en)- n

³1²

R isposta O

Problema 5.15.

Trovare il limite della successione

O.n =

yn ln (l + en) -

n~.

R isposta - oo.

Problema 5.16.

Studiare la convergenza della successione

l l l

O.n = -

+ . + .. . + .,---,-- n0 (n+ l )n (n+n)"

al variare del parametro

^Q E R

Problema 5.17.

Studiare la. convergenza della successione an

=

n

a (

\1 ⁿ

²

+ are

t

a n n

-

\1 n

²

⁺ n)

per

^Q

< ^l/3

^.

Problema 5.18.

Sia

_ n

Il . ( (2k+ l )7r )l on

a

11 - "'\"""' -

+

sm

L 2 2

k=l

al

variare

del parametro a

E IR.

Proble9a 5.19. St~uliare la conve1~qenza

del la

successione no

~s G ^{+ /11 -} vn=-1)

al

variare

del parametro o-

E IR.

14

6. SERIE Nu~JERJCHE

Data una successione {

an}nEN ci proniamo di definire la somma infinita

L

:::O= l

an

.

Associamo a

lla

success

ione { a11 } una

nuova successione fatta dalle sua somme parziali come

segue:

n

Sn = L ^ai.

i = l

Allora diciamo che

la

serie L:;" =

₁

an

e'

convergente e converge al valore l se

-

oo <

l

<

oo e'

tale che

lim

Sn

=

l.

11----+00

Nel caso in cui

limn~oo

Sn

=

oo allor a diciamo che

la serie e'

divergente.

Una seri e che non

sia convergente oppure

divergente si dice indeterminata.

La serie L :;"=

₁

an si di ce a termini posit

ivi

se an 2:

O per ogni n E N.

Si puo'

provare che la serie

L:;" =

₁

a

11

e' convergente se e solo se

m.

'e/E> O ::Jv(E)

E N

tale che l L ai l <E Vn,m 2: v(E) .

i=n

Problema 6.1. Provare che ogni serie

a

termini positivi e' convergente oppure

divergente.

Problema 6.2. Studiare la ser·ie L:;" =

^l

n(n

¹+l).

Proble m

a

6.3. Provare che

l l l l

-

+

- -+

...

+ -

> - Vn

E N.

n n+ l 2n 2

Dedurne che la

serie

00 l

L ;

n=l

e'

d~vergente.

Proble ma 6.4. Provare che se L :;" =

l

an e

'

convergente, allora

limn~oo

an

=

O

.

M ostra re che l 'implicazione inversa e

' falsa.

Proble ma 6.5. Studiare la convergenza della serie

L~=l

x" al variar·e di x

E

R

.

Pro blema 6.6. Provare che se la serie

L~=l

la, l e' convergente allora L:;" =l a

11

e' convergente. M ostra re che l

'implicazione

inversa e

' falsa.

Problema 6.7. Studiare la natura della serie

L~=l ~-

Problem

a

6.8. Studiare la convergenza della serie

L~=

1

(sinn+cosn)(xn).

Problema 6.9. Sia {

a11 }

una successione decrescente e posdiva (cioe' O

S a17+ 1 S

CL_{11 . )}

Provare che la serie

L~= l

an converge se e solo se converge la serie

L~= l 2ka_{2 ,}.

P

roble

m

a

6.10. Dire per quali valor·i di a > O si ha che la serie

L~=l

}u risulta convergente.

P

roble m

a

6

.

11. Studiar·

e il comportamento della serie L~=l n(ln1

n)u

al

variare

rli

o.

2: o .

P

roblema

6.12. Studiar-e

il

comportamento della seTie L ,-;o=l

₁₁₁

\,! (si TicoTda che

n'= 1.2

. ..

(n- l).n

Problema 6.13. Studiare al variaTe di a > O ed x E R la serie I:~=l n°xn. Problema 6.14. StudiaTe la conveTgenza della serie I:~'}, .

Problema 6.15. Studiare la conveTgenza della serie al variare di a, b, c E R (

b

)n +c

L a"

^{l+ ;:;:}

Problema 6.16. StudiaTe la convegrenza di

al variare di a E R.

" '

_L

(a" + -

l

)

n3a

Problema 6.17. StudiaTe la conveTgenza di

L

^cosn2

^+/ii.

n

Problema 6.18. Studiare la convergenza di

2n

+

n³

L

^{3n +n2·}

Problema 6.19. StudiaTe al variaTe di x E R la conveTgenza di (sinx)n

L - n - .

Problema 6.20. Studiare la conveTgenza di

" ' (- l)nn L l + n2 .