A.A. 2010/2011 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 20/09/2011

A.A. 2010/2011 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Sia f (t, y) = 2ty t

+ y

.

(i) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y

= f (t, y) della forma y(t) = at + b, a, b ∈ R.

(ii) Dire se il problema di Cauchy {

y

= f (t, y), y(0) = 0,

verifica le ipotesi del teorema di esistenza e unicit` a locale di Cauchy- Lipschitz.

(iii) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y

= f (t, y), y(0) = 2.

(iv) Risolvere analiticamente il problema di Cauchy al punto (iii).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = (u

, u cos v, u sin v), (u, v) ∈ [0, 2] × [0, 2π],

` e una superficie regolare, scriverne l’equazione cartesiana e calcolare il piano tangente alla superficie nel punto P ≡ (1, 1, 0).

Problema 3: Calcolare ∫

−∞

sin x x

+ 4x dx.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione { −1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

( −1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Prolungamento della soluzione locale del Problema di Cauchy.

Tema 2: Formula integrale di Cauchy.