Università degli Studi di Siena
Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 5 settembre 2014
Compito
") (6 punti) Si dia un esempio di due intervalli di numeri reali e non vuoti tali perE F cui E ∪ F sia un intervallo chiuso e E ∩ F un intervallo aperto, ed un esempio di due intervalli di numeri reali e non vuoti tali per cui E F EÎF sia un intervallo aperto e VEÎF un intervallo chiuso. (con EÎF si indica la differenza insiemistica fra i due insiemi e con il simbolo il complementare di un insieme)V
#) (7 punti) Una compagnia di telefonia mobile vuole aumentare il numero dei propri clienti e a tale riguardo ottiene la concessione di due nuovi prefissi il 318 ed il 319.
Le condizioni imposte sui due nuovi prefissi sono che per il 318 ogni nuovo contratto deve avere un numero telefonico composto da sette cifre che possono anche ripetersi ma tutte devono essere diverse da , mentre per il 319 ogni nuovo! contratto deve avere un numero telefonico composto da sette cifre che possono anche ripetersi ma tutte devono essere dispari. Quanti nuovi contratti la compagnia potrà sottoscrivere?
$) (7 punti) Siano date le funzioni 0 ÐBÑ œ $B e 1ÐBÑ œÈ" B; si costruiscano le espressioni delle funzioni composte 0 Ð1Ð0 ÐBÑÑÑ 1Ð0 Ð1ÐBÑÑÑ e ; per una a scelta fra le due precedenti composte si determini l'espressione della funzione inversa.
% " -9=B " B B
=/8 B B
) (8 punti) Calcola i seguenti limiti:
637
;637
.B Ä ! # B Ä ∞
È #
&) (10 punti) Determina l'andamento del grafico della funzione C œÈ" /$B.
' B B .B Þ
) (8 punti) Calcola
( È
B È$7) ( punti) Siano e due funzioni a valori reali entrambe derivabili in ( 0 1 B œ ! con 0 Ð!Ñ œ ! 1 Ð!Ñ œ "w e w , risulta inoltre 0 Ð!Ñ œ " 1Ð!Ñ œ ! e . Determina il valore della derivata in B œ ! per la funzione C œ 0 ÐBÑ 1ÐBÑÞ
0 Ð1ÐBÑÑ 8) (7 punti) Calcola le derivate parziali della funzione
0 ÐBß Cß DÑ œ =/8ÐB CÑ >1ÐB DÑ# # .
Il compito è diviso in 8 esercizi che presentano valutazioni diverse, il massimo punteggio
raggiungibile è pari a 60; gli studenti che ottengono in questa prova una votazione non inferiore a 24 sono ammessi alla prova orale.
Università degli Studi di Siena
Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 13-14) 5 settembre 2014
Compito
") (6 punti) Si dia un esempio di due intervalli di numeri reali e non vuoti tali perE F cui E ∪ F sia un intervallo aperto e E ∩ F un intervallo chiuso, ed un esempio di due intervalli di numeri reali e non vuoti tali per cui E F FÎE sia un intervallo aperto e VFÎE un intervallo chiuso. (con FÎE si indica la differenza insiemistica fra i due insiemi e con il simbolo il complementare di un insieme)V
#) (7 punti) Una compagnia di telefonia mobile vuole aumentare il numero dei propri clienti e a tale riguardo ottiene la concessione di due nuovi prefissi il 318 ed il 319.
Le condizioni imposte sui due nuovi prefissi sono che per il 318 ogni nuovo contratto deve avere un numero telefonico composto da sette cifre che possono anche ripetersi ma tutte devono essere diverse da , mentre per il 319 ogni nuovo* contratto deve avere un numero telefonico composto da sette cifre che possono anche ripetersi ma tutte devono essere pari e non nulle. Quanti nuovi contratti la compagnia potrà sottoscrivere?
$) (7 punti) Siano date le funzioni 0 ÐBÑ œ ÈB " 1ÐBÑ œ / e B; si costruiscano le espressioni delle funzioni composte 0 Ð1Ð0 ÐBÑÑÑ 1Ð0 Ð1ÐBÑÑÑ e ; per una a scelta fra le due precedenti composte si determini l'espressione della funzione inversa.
% " -9= =/8B B
B B " B
) (8 punti) Calcola i seguenti limiti:
637
;637
.B Ä ! B Ä ∞
È #
&) (10 punti) Determina l'andamento del grafico della funzione C œÈ" /#B.
' B B .B Þ
) (8 punti) Calcola
( È
ÈB%7) ( punti) Siano e due funzioni a valori reali entrambe derivabili in ( 0 1 B œ ! con 0 Ð!Ñ œ ! 1 Ð!Ñ œ "w e w , risulta inoltre 0 Ð!Ñ œ " 1Ð!Ñ œ ! e . Determina il valore della derivata in B œ ! per la funzione C œ 0 Ð1ÐBÑÑ Þ
0 ÐBÑ 1ÐBÑ 8) (7 punti) Calcola le derivate parziali della funzione
0 ÐBß Cß DÑ œ >1ÐBC Ñ -9=ÐBD Ñ# # .
Il compito è diviso in 8 esercizi che presentano valutazioni diverse, il massimo punteggio
raggiungibile è pari a 60; gli studenti che ottengono in questa prova una votazione non inferiore a 24 sono ammessi alla prova orale.
