Compito di Meccanica Razionale, 2/5/2011
Prof. F. Bagarello
Siano D1e D2due dischi, entrambi di massa m, di raggio r e 2r rispettivamente. Le coordinate dei baricentri G1 e G2 dei dischi sono vincolati a coincidere istante per istante. Inoltre, D2rotola senza strisciare su una guida orizzontale coincidente con l’asse x del piano verticale (O; x, y) che contiene entrambi i dischi. Siano θ e φ gli angoli di rotazione di D1 e D2 rispettivamente, e supponiamo che θ(0) = ˙θ(0) = ˙φ(0) = 0 e che φ(0) = π2. Il sistema subisce inoltre un momento della forma ⃗M = ˆkα(φ− θ), in cui α `e una costante positiva.
Lo studente:
1. determini la lagrangiana del sistema;
2. deduca le equazioni del moto;
3. ottenga il rapporto φ(t)θ(t)˙˙ , verificando in particolare che esso non dipende dal tempo;
4. risolva le equazioni del moto, ottenendo esplicitamente φ(t) e θ(t).
Lo studente infine ottenga la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto nel caso in cui D2 sia vincolato a rotolare senza strisciare su una guida inclinata sull’orizzontale di π6.
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HH H
x y
G1= G2
2r r
Il compito ritenuto superato se almeno i punti 1., 2. e 3. sono stati risolti correttamente.
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