EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO

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EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO

EQUAZIONI LINEARI INTERE: PROCEDURA RISOLUTIVA

Per risolvere le equazioni numeriche intere, si può seguire il seguente elenco di operazioni:

1- Si svolgono le eventuali operazioni algebriche e, nel caso che siano presenti dei denominatori numerici, questi ultimi vengono eliminati moltiplicando i due membri

dell'equazione per il loro minimo comune multiplo (mcd=mcm dei denominatori).

2- Si trasportano tutte le lettere (monomi che contengono l'incognita) al primo membro mentre tutti i termini che non contengono l'incognita (come i numeri o eventualmente 1altre lettere nel caso delle equazioni letterali)al secondo membro, cambiando il segno per la regola del trasporto. Il risultato di questi trasporti è quello di ottenere un numero al secondo membro e nel primo membro l'incognita.

Si hanno tre casi possibili:

A) Equazione determinata, con una sola soluzione quando è del tipo a*x=b con a≠0 , b≠0, x=b/a .

B) Equazione impossibile quando è del tipo 0*x=b con nessuna soluzione reale, S=Φ.

C) Εquazione indeterminata quando è del tipo 0*x=0, con infinite soluzioni di numeri reali, S=R.

ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO.

Ricordiamo la regola di annullamento del prodotto: quando in un prodotto uno o più numeri sono uguali a zero il

risultato è pure uguale a zero.

Pertanto, quando una equazione si presenta con un membro in forma di prodotto di fattori contenenti l'incognita, per trovare le soluzioni basta porre a zero ciascuno di essi risolvendone la rispettiva equazione.

Esempio di applicazione dell'annullamento del prodotto:

(2x-5)*(4x+3)*(x+2)=02x+5=0 , x1=-5/2; 4x+3=0, x2=-3/4;

x+2=0, x3=-2

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EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE. Equazioni che hanno l’incognita presente almeno in un denominatore.

La risoluzione delle equazioni fratte prevede alcuni passaggi tipici:

1-Scomporre in fattori i denominatori quando possibile.

2-Determinare le CE (condizioni di esistenza) risolvendo le disuguaglianze a zero di ciascun denominatore, con il risultato di scartare dalle soluzioni proprio quei

particolari valori dell'incognita che li annullerebbero.

3-Portare a denominatore comune (mcd) i due membri della equazione e di seguito moltiplicare per tale denominatore comune.

4-Risolvere l'equazione intera ottenuta al punto 3)

5-Scartare eventuali soluzioni incompatibili con le CE e verificare che le soluzioni compatibili soddisfino

l'equazione di partenza mediante sostituzione.

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PROBLEMI NUMERICI.

Possibile definizione di problema numerico: situazione per la quale è richiesta la determinazione o il calcolo di alcuni valori numerici relativi a dati incogniti.

Quando il valore incognito da calcolare è uno solo, in genere corrispondente alla x, può essere determinato risolvendo una equazione di primo grado, il problema si dice di tipo numerico di primo grado.

Nonostante il fatto che i tipi di problemi siano molti in quanto riconducibili a contesti di varia natura (numerico, geometrico, economico, statistico, ecc..), la strategia generale deve comportare il passaggio

attraverso alcune fasi generali:

1) ANALISI DEL TESTO E VALUTAZIONE DEL TIPO DI PROBLEMA.

Si tratta di una parte fondamentale del percorso risolutivo in questo passaggio si deve comprendere:

-la natura ed il contesto del problema;

-i dati che vengono forniti nel testo;

-richieste del problema, in particolare i dati incogniti che devono venire calcolati;

-dominio delle incognite, ovvero gli intervalli di numeri entro i quali ci si aspetta che la soluzione numerica sia compresa nel campo di accettabilità (ad esempio i valori positivi di x se si tratta di misure di segmenti).

2) COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO.

Questa è la tappa centrale di tutto il percorso e si può pensare che riguardi alcuni obiettivi di fondo:

a) determinazione delle relazioni (in genere equazioni o disequazioni) che esistono fra i dati contenuti nel testo del problema;

b) relazioni (equazioni o disequazioni) che includono l’incognita da determinare.

c) eventuale scelta della strategia risolutiva per il calcolo dei dati richiesti quando ve ne sia più di una.

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3) RISOLUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO.

La risoluzione di equazioni, disequazioni e sistemi, stabilite al punto precedente, ad esempio per via algebrica.

4) VERIFICA:

I dati relativi ai valori delle incognite, che sono stati ottenuti risolvendo il modello matematico,

vengono sostituiti al posto delle lettere incognite (la x nelle equazioni di primo grado) che compaiono nel modello matematico, verificando se le relazioni di partenza siano soddisfatte e, inoltre, che tali soluzioni rispettino le condizioni di accettabilità del dominio.

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Alla luce di quanto sopra è stato esposto passiamo ora ad esaminare tre esempi di problemi numerici.

Problema 1:

Un cellulare, dopo che è stato applicato uno sconto del 15%, viene acquistato al prezzo di 170 euro.

Quale è il prezzo originale?

1) Analisi del testo:

Sconto sul prezzo=15%; Prezzo scontato: 170 euro.

Richiesta: prezzo iniziale prima dello sconto=x Dominio: x>170 euro.

2) Modello matematico:

3)Risoluzione del modello matematico:

85 100

170 170 200 euro.

100 x = ⇒ x = 85 =

4) Verifica della soluzione: 200-15%200=200-30=170

Il valore ottenuto appartiene al dominio perchè 200>170.

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Problema 2:

Si deve costituire una somma di 14 euro con 40 monete, alcune di esse da 50 centesimi ed altre da 20 centesimi.

Quale è la combinazione numerica dei due tipi di monete?

Somma da costituire=14 euro.

Monete disponibili da 50 centesimi=x.

Monete disponibili da 20 centesimi=y.

Totale delle monete da usare=40.

Richiesta: quanto valgono x e y?

Dominio: 0<x<40 , 0<x<40.

2) Modello matematico:

relazioni fra i dati: x+y=40 ; y=40-x relazione con l’incognita: 0.5x+0.2y=14.

3) Risoluzione del modello:

0.5x+0.2(40-x)=10 ; 0.3x+8=14; 0.3x=12; x=6:0.3=20; y=20 4) Verifica: 20*0.5+20*0.2=10+4=14 ; x=y=20<40

Problema 3: In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 6 cm mentre l’altro cateto misura 2 cm in meno

dell’ipotenusa. Determinare la lunghezza dell’ipotenusa.

(si riportare il triangolo in uno schema grafico che qui, vista la semplità, non si rappresenta)

Triangolo rettangolo. Lunghezza Cateto 1=6 ; Cateto 2=y;

Incognita=ipotenusa=x 2) Modello matematico:

2 2 2

2 ; 6 (Teorema di Pitagora) y = x − + y = x

3) Risoluzione del modello matematico:

4) Verifica della soluzione:

( )

²

36 + 4 − 2 = 36 + 4 = 40 ; 4cm=6cm-2cm