Calcolo delle Probabilità 2011/12 – Foglio di esercizi 10
†Teorema limite centrale e convergenza di variabili aleatorie.
Negli esercizi che coinvolgono calcoli con la distribuzione normale, si esprima il risultato in termini della funzione di ripartizione Φ(x) :=Rx
−∞
e−y2/2√
2π dy della legge normale standard e della sua inversa Φ−1.
Esercizio 1. Si lancia n volte un dado equilibrato.
(a) Se n = 1000, qual è la probabilità che il punteggio totale sia minore o uguale di 3400?
(b) Quanto grande deve essere n affinchè con probabilità maggiore o uguale a 0.99 il punteggio totale sia almeno 3.3n?
(c) Quanto grande deve essere n affinchè con probabilità maggiore o uguale a 0.99 il punteggio totale sia almeno 500?
Esercizio 2. Il gruppo promotore di un referendum ritiene che il 60% della popolazione sia disposta a firmare per la relativa raccolta di firme. Si assuma che le persone a cui viene richiesto di firmare siano scelte a caso. Dovendo raccogliere 30.000 firme, quante persone è necessario interpellare affinchè la soglia delle 30.000 firme sia raggiunta con probabilità di almeno 0, 95?
Esercizio 3. Calcolare approssimativamente la probabilità che una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro 100 assuma un valore minore di 95.
Esercizio 4. Il numero giornaliero di passeggeri sui treni da Milano a Firenze è una variabile aleatoria di distribuzione incognita. Supponendo che il valore atteso sia pari a 3000 e la varianza pari a 106, si calcoli approssimativamente la probabilità che in 30 giorni il numero complessivo di viaggiatori sia almeno 105.
Esercizio 5. Usando opportunamente il Teorema Limite Centrale, si mostri che
n→+∞lim e−n
n+√ n
X
k=0
nk
k! = Φ(1) = Z 1
−∞
e−y2/2
√2π dy .
Esercizio 6. Indicando con {Xn}n∈N una successione i.i.d. con leggi Xn ∼ U [−1, 1], si determini per ogni t ∈ R il limite
n→∞lim P (X1+ . . . + Xn)2
n > t
.
Esercizio 7. Siano {Xn}n∈N v.a. indipendenti con leggi Xn ∼ N (0, σn2), dove {σ2n}n∈N è una successione positiva assegnata. Si considerino i tre casi seguenti:
(a) σn2 → +∞;
(b) σn2 → 0;
(c) σn2 → 1 per n pari e σn2 → 2 per n dispari.
In ciascun caso si discuta la tightness e la convergenza in legge della successione {Xn}n∈N.
†Ultima modifica: 13 gennaio 2012.
