Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 02/03/2011

A.A. 2009/2010

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= (y

− 4) arctan t,

y(0) = 1.

(b) Risolvere analiticamente il problema stesso.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = ((1 − u

) cos v, (1 − u

) sin v, u), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e una superficie regolare. Scrivere l’equazione cartesiana e calcolare l’area della superficie Σ.

Problema 3: Calcolare l’integrale Z

γ

1 e

− 1 dz ,

dove il cammino γ = {z ∈ C : |z| = 3π} `e percorso in senso antiorario.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione ( −1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

1 (2n + 1)

,

X

(−1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere almeno uno dei seguenti argomenti:

Tema 1: Massimi e minimi vincolati e dimostrazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Teoremi di convergenza per le serie di Fourier e dimostrazione del teorema

sulla convergenza uniforme.