Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/09/2011

A.A. 2010/2011

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (i) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y ^′ = t(y − 2) ⁴ y, y(0) = 1.

(ii) Risolvere il seguente sistema lineare omogeneo {

x ^′ = x + y, y ^′ = −3x + 5y.

Problema 2: La superficie di equazione cartesiana x ² +y ² −z ² = 0 ` e regolare? Calcolare il piano tangente alla superficie nel punto P ≡ (3, 4, 5).

Problema 3: Sia f : C → C una funzione olomorfa tale che f(1/n) = 1/n per ogni n ∈ N.

(i) Provare che f (0) = 0 e f ^′ (0) = 1.

(ii) Dimostrare che f ^′′ (0) = 0. [Suggerimento: si consideri la funzione g(z) = ^{f (z)} _z

^−z e si proceda per assurdo.]

(iii) f (z) = z?

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema di esistenza e unicit` a locale di Cauchy-Lipschitz.

Tema 2: Classificazione delle singolarit` a isolate delle funzioni olomorfe: definizioni ed

esempi significativi.