Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova del 15/02/2011

A.A. 2009/2010

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= (y

− 2y) log t,

y(1) =

.

(b) Risolvere esplicitamente il problema stesso e completare lo studio qualitativo al punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie Σ di equazione

~r(u, v) = (u + v

, u cos v, u sin v),

con (u, v) ∈ [0, 2] × [0, 2π], `e regolare. Calcolare il flusso del campo F ≡ (x, 0, p

y

+ z

) attraverso la superficie Σ.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

0

cos 2x 2 + sin 2x dx.

Problema 4: Calcolare il massimo e minimo assunti dalla funzione f (x, y, z) = x

+ 2y

+ 3z

nella porzione di paraboloide di equazione z = 1 − x

− y

contenuta nel semispazio z ≥ 0.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Discutere il prolungamento della soluzione locale del Problema di Cauchy e fornendo esempi significativi.

Tema 2: La formula integrale di Cauchy: teorema, dimostrazione ed alcune sue con-

seguenze.